第节 第八章 多无晶款的教值及其求法 一、多元函数的极值 二、 最值应用问题 三、条件极值 等HIGH EDUCATION PRESS 周f0008
第八章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 定义：若函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： =3x2+4y2在点(0,0)有极小值， z=x2+y2在点(0,0)有极大值， z=xy在点(0,0)无极值 等HIGH EDUCATION PRESS
x y z 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,y0)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,y0)=0,f(x0,%)=0 证：因z=f(x,y)在点(x0,yo)取得极值，故 z=f(x,yo)在x=xo取得极值 z=f(xo,y)在y=yo取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立， 说明：使偏导数都为0的点称为驻点· 但驻点不一定是极值点 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值 等HIGH EDUCATION PRESS 0900-08 机动目最上页下页返回结束
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)在点(x0,yo)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)=0,fy(x0,0)=0 令A=fxx(xo,yo),B=fxy(xo,y0),C=fyy(x0,0） A0时，具有极值 A>0时取极小值 2)当AC-B2<0时，没有极值 3)当AC-B=0时，不能确定，需另行讨论 证明见第九节P65) 》HIGH EDUCATION PRESS 周f0008
时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节(P65) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 f x (x0 , y0 ) = 0 , f y (x0 , y0 ) = 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = xx = x y = y y 0 2 AC − B 0 2 AC − B 0 2 AC − B = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解：第一步求驻点， fx(x,y)=3x2+6x-9=0 解方程组 f,(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B /x(x,y)=6x+6,fx(x,y)=0,y(x,y)=-6y+6 在点1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0,A>0, f1,0)=-5为极小值 等HIGH EDUCATION PRESS
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f y y (x, y) = −6y + 6 12 6 0, 2 AC − B = A 0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2)处A=12,B=0,C=-6 AC-B2=12×(-6)0,A<0, ∴f(-3,2)=31为极大值 fxx(x,y)=6x+6,fxv(x,y)=0,fyy(x,y)=-6y+6 A B C 等HIGH EDUCATION PRESS 9008 机动目录上页下页返回结可
在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f y y (x, y) = −6y + 6 12 6 0, 2 AC − B = − 12 ( 6) 0, 2 AC − B = − − A 0, 在点(1,2) 处 12 ( 6) 0, 不是极值; 2 AC − B = − A B C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.讨论函数z=x3+y3及z=(x2+y2)2在点(0,0) 是否取得极值 解：显然(0,0)都是它们的驻点，并且在(0,0)都有 AC-B2=0 z=x3+y3在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为负，因此(0,0)不是极值 0 当x2+y2≠0时，：=(x2+y2)2>0.0)=0 因此z0,0)=(x2+y2)20.0)=0为极小值 音HIGH EDUCATION PRESS 周e0008
例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 0 , 当x 2 + y 2 时 2 2 2 z = (x + y ) 0 z (0,0) = 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) x y z o 并且在 (0,0) 都有 可能为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 最值应用问题 依据 函数f在闭域上连续 函数f在闭域上可达到最值 驻点 最值可疑点 边界上的最值点 特别，当区域内部最值存在，且只有一个极值点P时 f(P)为极小（大）值>f(P)为最小（大）值 等HIGH EDUCATION PRESS
二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, f (P) 为极小(大) 值 f (P) 为最小(大) 值 依据 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.某厂要用铁板做一个体积为2m的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 解：设水箱长宽分别为x,ym则高为子m, 则水箱所用材料的面积为 4=2w*y号+x号)=26y+经+)(>8 令 〔4=20y-3)=0 得驻点(2,2) 4,=2(x-)=0 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在，因此可 断定此唯一驻点就是最小值点即当长、宽均为32 高为2。=32时，水箱所用材料最省 等HIGH EDUCATION PRESS
例3. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? m, 2 x y ( ) x y x y 2 2 = 2 + + 2( ) 0 2 2 = − = x x A y 2( ) 0 2 2 = − = y y A x 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. ( 2 , 2) 3 3 3 2 3 2 2 2 2 3 3 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.有一宽为24cm的长方形铁板，把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面面 积最大 解：设折起来的边长为xcm,倾角为α，则断面面积 为 4=(24-2x+2xcosa+24-2x)xsina 24xsina -2x2 sina +x2 cosasina (D:0<x<12,0<<) C 24 24-2x 考HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧
例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 解: 设折起来的边长为 x cm, 则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为 , (24 − 2x + 2x cos 2 1 ) xsin 24 sin 2 sin cos sin 2 2 = x − x + x 24−2x x 积最大. ( : 0 12, 0 ) 2 D x 为 问怎样折法才能使断面面 机动 目录 上页 下页 返回 结束