嘉兴学院 课件 函数的求导法则_高等数学第二章（2）

第二为 第二章 蓝数的求导法则 四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 》HIGH EDUCATION PRESS

第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章

思路： f"(x)=lim f(x+△x)-f(x) (构造性定义) △x→0 △X 本节内容 求导法则 (C)'=0 (sinx)'=cosx 证明中利用了 1 (Inx)'= 两个重要极限 其它基本初等 函数求导公式 初等函数求导问题 毫HIGH EDUCATION PRESS

思路: x f x x f x f x x         ( ) ( ) ( ) lim 0 ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等 函数求导公式 0 cos x x 1 (C )  (sin x )  (ln x )  证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、 四则运算求导法则 定理1.函数u=(x)及v=v(x)都在x具有导数 >u(x)及v(x)的和、差、积、商（除分母 为0的点外)都在点x可导，且 (I)[u(x)±v(x)]=u'(x)±v'(x) (2)[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v(x) u(x) u(x)v(x)-u(x)v'(x) (v(x)≠0) v(x) v-(x) 下面分三部分加以证明，并同时给出相应的推论和 例题 毫HIGH EDUCATION PRESS

一、四则运算求导法则 定理1. 函数u  u(x)及v  v(x)都在 x具有导数 u(x)及v(x) 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (1) [u(x)  v(x)]  u (x)  v (x) (2) [u(x)v(x)]  u (x)v(x)  u(x)v (x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 2 v x u x v x u x v x v x u x            下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . (v(x)  0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(I)(u±v)y'=l'±v' 证：设f(x)=u(x)士v(x),则 f'(x)=lim f(x+h)-f(x) h>0 h lim [u(x+h)±v(x+h)]-[u(x)士v(x)] h-→0 h u(x+h)-u(x) v(x+h)-v(x) lim ±lim h-→0 h-→0 h =u'(x)士v'(x) 故结论成立 此法则可推广到任意有限项的情形.例如， 例如，(u+v-1w)}=+v'-1w 等HIGH EDUCATION PRESS

此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 (1) (u  v)  u   v  f (x)  u(x)  v(x) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0        h u x h u x h ( ) ( ) lim 0     h v x h v x h ( ) ( ) lim 0      u (x)  v (x) 故结论成立. 例如, (u  v  w)  u   v   w  机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如

(2)(uv)'=uv+uv' 证：设f(x)=(x)(x),则有 f"(x)=lim f(x+h)-f(x) u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x) lim h-→0 h h-→0 h u(x+h)-u(x) lim x+)+x)x+)-x) h-→0 h h =u'(x)v(x)+u(x)v(x) 故结论成立 推论：1)(Cu)Y=Cu(C为常数) 2)(2mw)'=u'w+2w'w+2ww' 3)(logax)'= Inx 1 Ina xIna 音HIGH EDUCATION PRESS 周e9098

(2) (uv)  u  v  u v  证: 设 f (x)  u(x)v(x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0       u (x)v(x)  u(x)v (x) 故结论成立.        h u x h h ( ) lim 0 u(x) v(x  h)      h v(x) u(x) v(x  h) 推论: 1) (Cu )  2) (uvw)  Cu  u  vw  uv  w  uvw  3) (loga x )         a x ln ln x ln a 1  机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )

例1.y=x(x3-4cosx-sinl),求y'及yx=l 解：y'=(Wx)'(x3-4cosx-sin1) +√x(x3-4cosx-sinl)y (x3-4cosx-sin1)+(3x2+4sinx) 2x =(1-4cosl-sin1)+(3+4sin1) 77 -+-sin1-2cos1 等HIGH EDUCATION PRESS

例1. 解:  4sin x (1 2 1  sin1) ( 4cos sin1) , 3 y  x x  x  . 1   x 求 y 及 y y   ( x )  x  (  4cos  sin1)  2 1 3 x x x 2 x (3 x ) y  x1   4cos1  (3  4sin1) sin1 2cos1 2 7 2 7    ( 4cos sin1) 3 x  x  ( 4cos sin1) 3 x  x   机动 目录 上页 下页 返回 结束

(3) 证：设)=得，则有 u(x+h)u(x) f'(x)=limx+月-fx) lim-"(x+h)v(x) h→0 h h-→0 h u+)-w)w)-)+）- lim h h h-→0 v(x+h)v(x) =Ix)v(x)-4(x)v'(x) 故结论成立 v2(x) 推论： (S)= -Cv' (C为常数) 音HIGH EDUCATION PRESS 周e9098

         ( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h     h  u(x)v(x) (3)   2 v u v u v v u      证: 设 f (x)  则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0      h h lim 0  , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h   ( ) ( ) v x u x  h u(x  h)  u(x) v(x) h v(x  h)  u(x)  v(x) 故结论成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u  x v x  u x v  x  推论:   2 v C v v C     机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )

例2.求证(tanx)'=sec2x,(cscx)'=-cscxcotx. 证： sin x (tanx)'= (sinx)'cosx-sin x(cosx) COSx cos-x cos2x +sin2x sec2 x cos-x -(sinx)'-cosx (cscx)'= sinx sinx sinx =-cscxcotx 类似可证：(cotx)'=-csc2x,(secx)'=secxtanx. 毫HIGH EDUCATION PRESS 周e日098

(csc x)         sin x 1 x 2 sin   (sin x) x 2 sin  例2. 求证 (tan ) sec , 2 x   x 证: (csc x)  csc x cot x .          x x x cos sin (tan )  x 2 cos (sin x)cos x  sin x (cos x)  x 2 cos x 2 cos x 2  sin x 2  sec  cos x  csc x cot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x    x (sec x)  sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、反函数的求导法则 定理2.设y=f(x)为x=f1(y)的反函数，f(y)在 y的某邻域内单调可导，且[f(y)]≠0 f'(x)= [f-(y] d v 证：在x处给增量△x≠0，由反函数的单调性知 △y1 Ay=f(x+△x)-f(x)≠0，∴： △xAx △1 且由反函数的连续性知△x→0时必有△y→0，因此 △y f(x)=lim lim- 1 △x→0△X△y→0 △x △y [f-(y] 等HIGH EDUCATION PRESS

f (x)  二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y  f x 为 x  f 1 y 的反函数 f 1 ( y) 在 [ ( )] 0 1    且 f y d d  x y 或 x  0, y  f (x  x)  f (x)  0,     x y y x   x  0时必有y  0, x y f x x      0 ( ) lim lim  0  y y x   y x d d  1 [ ( )] 1   f y 1 1 [ ( )] 1   f y 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求反三角函数及指数函数的导数 元) 解：1)设y=aresinx,则x=siny,ye(-2,2 cosy>0,则 (arcsin x)'= (siny)'cosy v1-sin2 y -x 利用 元 (arccosx)'=- arccosx= -arcsin x 1-x 类似可求得 (arctanx)'= 2 (arccot x)'=- 1+x 1+x 音HIGH EDUCATION PRESS

1  例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 y  arcsin x , 则 x  sin y , ) , 2 , 2 (   y   (arcsin x) (sin y) cos y 1  y 2 1 sin 1   2 1 1 x  类似可求得 (arccos x)  ? , 1 1 (arctan ) 2 x x    2 1 1 (arccot ) x x     2 1 1 x  x arcsin x 2 arccos    利用  cos y  0 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束