第二节二重积分的计算法 （1) 一、利用直角坐标系计算二重积分 二、小结思考题 经济数学 微积分
一、利用直角坐标系计算二重积分 二、小结 思考题 第二节 二重积分的计算法（1）
-、利用直角坐标系(right angle coordinate system)计算二重积分 如果积分区域为：a≤x≤b, p,(x)≤y≤p2(x). [X-型] y=P2(x) y=P2(x) y=Q(x) 其中函数p1(x)、p2(x)在区间[a,b]上连续. 经济数学一微积分
如果积分区域为： a x b, ( ) ( ). 1 x y 2 x 其中函数 ( ) 、 在区间 上连续. 1 x ( ) 2 x [a,b] 一、利用直角坐标系(right angle coordinate system)计算二重积分 ［X－型］ ( ) 2 y = x a b D ( ) 1 y = x D a b ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x
:∬f(x,)do的值等于以D为底，以曲面z= f(K,y)为曲顶柱体的体积. z=fx,y月) 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法， A(xo) y=0(x) y=0(x) 得 ∬fx,dg=fx 经济数学一微积分
为曲顶柱体的体积． 的值等于以 为底，以曲面 ( , ) ( , ) f x y f x y d D z D = 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, z y x ( ) 0 A x z = f (x, y) ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D b a x x f x y d dx f x y dy 得 a x0 b
如果积分区域为：c≤y≤d,p(y)≤x≤p2(Jy) [Y-型] x=(y) D D /x=02(y) x=p2(y)） f(dydx 经济数学一微积分
( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D d c y y f x y d dy f x y dx 如果积分区域为： c y d, ( ) ( ). 1 2 y x y ［Y－型］ ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D c d c d ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D
X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点。 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，则必须分割 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 =++ 经济数学 -微积分
X型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， D3 D2 D1 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 . 1 2 3 = + + D D D D 则必须分割
例1 求I=∬vdo,其中D是x=1、y=x 及y=2所围成的闭区域， 解法一Ⅸ型] I=Sdxfxydv=Six.d =2x-=x-8 解法二Y-型] 1=了=w·戈K 经济数学 微积分
例 1 求 = D I xyd ,其 中 D 是x = 1、 y = x 及 y = 2所围成的闭区域. 解法一 [X - 型 ] 解法二 [Y- 型 ] dx y I dx xydy x x x 2 21 2 21 2 ] 2 [ = = 81 ] 1 8 ) [ 2 (2 21 4 2 21 3 = − = − = x dx x x x dy x I dy xydx y y y 1 21 1 21 2 ] 2 [ = = 81 ] 1 8 4 ) [ 2 2 ( 21 4 2 21 3 = − = − = y y dy y y X=Y Y=2 X=1 Y X 21 1 2
例2求∬(x2+y)c,其中D是由抛物线 D y=x和x=y所围平面闭区域： x=p2 解 两曲线的交点 0.10.60.8 ∬x2+)=(x2+r) =-+-脑= 经济数学 微积
例 2 求 + D (x y)dxdy 2 ，其中D是由抛物线 2 y = x 和 2 x = y 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点(0,0) , (1,1), 2 2 = = x y y x + D (x y)dxdy 2 = + 1 0 2 2 ( ) x x dx x y dy x x x (x x )]dx 2 1 [ ( ) 2 4 1 0 2 = − + − . 140 33 = 2 y = x 2 x = y 2 y = x 2 x = y
例3求I=∬edo,其中D是由直线 y=x,y=1及y轴所围成的闭区域 解：∫e'不能用初等函数计算 只能用Y-型 I-dyedx =e=-e) 经济数学—一微积分
例 3 求 − = D y I e d 2 ，其中 D 是由直线 y = x, y = 1及 y轴所围成的闭区域. 解 − e dy y 2 不能用初等函数计算 只能用 Y-型. − = 1 0 0 y 2 y I dy e dx − = 1 0 2 ye dy y (1 ) 2 1 −1 = − e
例4 求∬x2ed,其中D是以(0,0，(1，) (0,1)为顶点的三角形 解∫ed无法用初等函数表示 .积分时必须考虑次序 ∬xedxo=yf xe-vdx 0.20.40.60.81 -e3-e0-2 经济数学一微积分
例4 求 − D y x e dxdy 2 2 ，其中 D 是 以(0,0),(1,1), (0,1)为顶点的三角形. − e dy y 2 解 无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序 − D y x e dxdy 2 2 − = y y dy x e dx 0 2 1 0 2 dy y e y = − 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y = − ). 2 (1 6 1 e = −
例5计算积分1=e+4小e ∫e*dc不能用初等函数表示 解 1. =x ∴先改变积分次序 0. 原式=I=e山 0. 020.40.60.81 -fx(e-e')-ge-2 1 经济数学一微积分
例 5 计算积分 = y x y I dy e dx 2 1 2 1 4 1 + y y x y dy e dx 1 2 1 . 解 e dx x y 不能用初等函数表示 先改变积分次序. 原式 = = x x x y I dx e dy 2 2 1 1 = − 1 2 1 x(e e )dx x . 2 1 8 3 = e − e 2 y = x y = x