第三节 第九章 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 等HIGH EDUCATION PRESS
第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第九章
一、 三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为u(x,y,z)∈C,求分布在2内的物质的 质量M 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 M=lim∑4(5，nk,5k)△v →0 k= (5k,n,5) 等HIGH EDUCATION PRESS
一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v ( , , ) k k k k v 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在 内的物质的 可得 = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义.设f(x,y,2),(x,y,)∈2，若对2作任意分割 △y(k=1,2,…,n)任意取点(5，k,5k)∈△，下列 积和式”极限 "乘 记作 Iim∑f(5k,k,5k)△yk 2-→0=1 存在，则称此极限为函数f(x,八，)在Q上的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似例如 中值定理.设f(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7,5)∈2，使得 川afx,xdv=fG.ns5V 等HIGH EDUCATION PRESS /周金0008
定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z), k k k n k k f v → = lim ( , , ) 1 0 存在, f (x, y,z) f (x, y,z)dv dv 称为体积元素, dxdydz. 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 下列 “乘 中值定理. 在有界闭域 上连续, 则存在 (,, ), 使得 f (x, y,z)d v = f (,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数f(x,y,z)≥0，并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法 方法1，投影法（先一后二”) 方法2.截面法(“先二后一”) 方法3.三次积分法 最后，推广到一般可积函数的积分计算 等HIGH EDUCATION PRESS
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 f (x, y,z) 0, 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法1.投影法(“先一后二”) 23(3,)sz≤2(x,y) z=z2(X,) (x,y)∈D 细长柱体微元的质量为 d- dxdy 12=(x,y) 该物体的质量为 川/6y2)dy dxdy =(cxa |dxdy 微元线密度 toddyx= f(x,y,=)dxdy HIGH EDUCATION PRESS
z x y D = D dxdy 方法1. 投影法 (“先一后二” ) x y D z x y z z x y ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 f x y z z x y z x y z x y ( , , )d d d ( , ) ( , ) 2 1 该物体的质量为 f (x, y,z)d v ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z D z x y z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d f (x, y,z)dxdy 细长柱体微元的质量为 ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d xd y 微元线密度≈ 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法2.截面法(“先二后一”) Q:)ED. a≤z≤b 以D为底，d:为高的柱形薄片质量为 (j∬nfx,ya)dxdy)dz 该物体的质量为 面密度 Jj川2fx,y.a)dv f(x,y,z)dz )dxdd= tj0aj∬o,xydy HIGH EDUCATION PRESS 周f00o⑧
a b 方法2. 截面法 (“先二后一”) 以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 x y z 该物体的质量为 ( = b a DZ f (x, y,z)d xd y DZ b a dz f (x, y,z)dxdy z Dz f (x, y,z)d z 面密度≈ )dz 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法3.三次积分法 1(x,y)≤z≤22(x,y) 设区域Ω (x,y)∈D 1(x)≤y≤y2(x) a≤x≤b 利用投影法结果，把二重积分化成二次积分即得 Jj∬nfx,y2)dy 22(x,y) f(x,y,=)dz 投影法 o了cx3dv=oday时y-t 等HIGH EDUCATION PRESS 周f0098
投影法 方法3. 三次积分法 设区域 : 利用投影法结果 , a x b y x y y x x y D ( ) ( ) ( , ) : 1 2 ( , ) ( , ) 1 2 z x y z z x y 把二重积分化成二次积分即得: = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z ( ) ( ) 2 1 d y x y x y = b a dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当被积函数在积分域上变号时，因为 f(x,y,z) _f(x,y)+f(x,y,)f(x,y,)-f(xy,2） 2 =(x,y,)-f2(x,y,z) 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算 等HIGH EDUCATION PRESS 008 动目最上页下页返回结
当被积函数在积分域上变号时, 因为 f (x, y,z) 2 f (x, y,z) − f (x, y,z) − ( , , ) 1 = f x y z ( , , ) 2 − f x y z 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. 2 f (x, y,z) + f (x, y,z) = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
小结：三重积分的计算方法 方法1.“先一后二” 方法2.“先二后一” jn了a)dv=aoy,ddy 方法3.“三次积分” 三种方法（包含12种形式）各有特点，具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择 等HIGH EDUCATION PRESS 周f00o⑧
小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分” = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z = DZ b a d z f (x, y,z)dxdy = ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 d d ( , , )d z x y z x y y x y x b a x y f x y z z 三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.计算三重积分 xdxdydz,其中2为三个坐标 面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域 0≤z≤1-x-2 解：2：0≤y≤(1-x) 0≤x≤1 xdyd= 1-x-2y)d -2r2+r 48 等HIGH EDUCATION PRESS
例1. 计算三重积分 d d d , 其中 为三个坐标 x x y z x + 2y + z =1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解: : xd xd y d z − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y −x− y z 1 2 0 d = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0 z 1− x − 2y 0 (1 ) 2 1 y − x 0 x 1 48 1 = 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束