第二节 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、变量代换法解方程 五、小结与思考题 经济数学 微积分
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 四、变量代换法解方程 第二节 一阶微分方程 三、一阶线性微分方程 五、小结与思考题
一、可分离变量的微分方程 g(y)=f(x)k可分离变量的微分方程 例如办=2心2→y面=2x, dx 解法设函数g(y)和f(x)是连续的， g)=∫fx)k 分离变量法 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函 数，G(y)=F(x)+C为微分方程的解， 经济数学—一微积分
一、可分离变量的微分方程 g( y)dy = f (x)dx 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4 y dy = x dx − 解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的, g( y)dy = f (x)dx 设函数G( y)和F(x)是依次为g( y)和f (x) 的原函 数, G( y) = F(x) + C 为微分方程的解. 分离变量法
例1求微分方程 =2y的通解。 dx 解 分离变量=2x, 两端积分 -2x Iny=x2+C y=Ce为所求通解 经济数学一微积分
例1 求微分方程 2xy的通解. dx dy = 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 , = xdx y dy 1 2 ln y = x + C . 2 y = Ce x 为所求通解
例2求解方程 =y d (指数增长与指数衰减方程) 解 、=K :两端积分，得 Iny=kx+c (c为任意常数) 经济数学 微积分
例 2 求解方程 ky dx dy = 解 dy kdx y = 1 两端积分，得 ln y = kx + c （c 为任意常数） （指数增长与指数衰减方程）
从而y=er+c=ee.ec=Aex 其中A=e为任意正常数，所以 y=(±A)er=Be 由此可知，微分方程 dykx dx 的解当k>0时总是指数增长的， 当k<0时，总是指数衰减的. 经济数学一微积分
从而 kx c c kx kx y = e = e e = Ae + 其中 c A = e 为任意正常数，所以 kx y = (A)e kx = Be 由此可知，微分方程 kx dx dy = 的解当 k>0 时总是指数增长的， 当 k<0 时，总是指数衰减的
例3衰变问题：铀的衰变速度与未衰变原子含 量M成正比，已知Mo=Mo,求衰变过程中铀 含量M(t)随时间t变化的规律， 解衰变速度M, 由题设条件 dM=-λM (八>0衰变系数) dt dM-λdt ∫Y-j-a,1nM=-i+nC,g即M=Cey, 代入M=M,得M。=Ce°=C, ∴.M=Moe-u 衰变规律 经济数学一微积分
例 3 衰变问题: 铀的衰变速度与未衰变原子含 量M 成正比,已 知M t=0 = M0 ,求衰变过程中铀 含 量M(t)随时间t变化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M ( 0衰变系数) dt dM dt M dM = − , = − dt M dM 代入M t=0 = M0 lnM = −t + lnC, , t M Ce− 即 = 0 得 M0 = Ce = C, t M M e − = 0 衰变规律
二、齐次方程 1.定义 形如象的的微分方程称为齐次方程 2.解法作变量代换4=y 即y=xW, du 4 =u+x 代入原式，得 du u+x d =f(W), 即 du_f(u)-u 可分离变量的方程 dx 经济数学 微积分
二、齐次方程 ( ) x y f dx dy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, 代入原式,得 , dx du u x dx dy = + f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 1.定义
当m-u时，利曲。hc x=ce,（pw=∫f0=n 即 du) 将u=卫代入， φ() 得通解x=Cex, 当34，使f()-w=0,则u=4,是新方程的解， 代回原方程，得齐次方程的解y=4x. 经济数学—一微积分
当 f (u) − u 0时, ln , ( ) C1 x f u u du = − 得 , (u) x Ce 即 = − （ = ） f u u du u ( ) ( ) 将 代入, x y u = , ( ) x y x Ce 得通解 = , 当 u0 ( ) 0, 使 f u0 − u0 = , 则 u = u0是新方程的解 代回原方程 , . 得齐次方程的解 y = u0 x
例4求解微分方程 (x-ycosdx+xcosdy=0. 解 令u=， 则y=udk+xdu, (x-ux cosu)dx+xcos u(udx+xdu)=0, cos udu = d sinu=-Inx+C, 比 微分方程的通解为sin'=-nx+C. X 经济数学一微积分
例4 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 令 ， x y u = 则dy = udx + xdu， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, sin ln x C. x y 微分方程的通解为 = − + 解
例5求解微分方程 x2-xy+y22y2-xy 2-y 解 dx x2-x+y2 29 令u= ,则少=+号 du dx 2u2-w u+xu'= 1-w+u2 经济数学 微积分
2 2 2 2 x xy y y xy dx dy − + − = , 1 2 2 2 − + − = x y x y x y x y , x y 令u = , 1 2 2 2 u u u u u xu − + − + = . 2 2 2 2 y xy dy x xy y dx − = − + 例5 求解微分方程 解 , dx du u x dx dy 则 = +