第五节 二阶常系数线性微分方程 一、定义 二、线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程解法 四、二阶常系数非齐次线性方程解法 五、小结思考题 经济数学 微积分
二、线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程解法 五、小结 思考题 第五节 二阶常系数线性微分方程 四、二阶常系数非齐次线性方程解法 一、定义
一、 定义 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y”+py'+⑩y=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y”+py'+⑩y=f(x) 经济数学—一微积分
一、定义 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 (1) 定理1如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个 解，那末y=Cy1+C2y2也是(1)的解.(C1,C2是任 意常数) 问题：y=C1+C22一定是通解吗？ 经济数学一微积分
二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构 定 理 1 如果函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是任 意常数） 问题: y = C1 y1 + C2 y2一定是通解吗？ y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1)
定理2：如果y,(x)与y,(x)是方程(1)的两个线性 无关的特解，那么y=C1y1+C2y2就是方程(1)的 通解.(C,C2是任意常数) y(x)=w(x)≠常数， 注：若在区间1上有y,(x) 则函数y,(x)与y,(x)在区间I上线性无关 例如y"+y=0, 观察有y1=c0sx,y2=sinx, 且2=tanx≠常数，通解=C,cosx+C,sinx. y 经济数学 一微积分
注：若在区间 I 上有 = ( ) 常数， ( ) ( ) 2 1 u x y x y x 则函数 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 在区间 I 上线性无关. 定理 2：如果 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 1 1 2 2 y = C y + C y 就是方程(1)的 通 解. （ 1 2 C , C 是任意常数） 例如 y + y = 0, cos , sin , y1 = x y2 = x tan , 1 且 2 = x 常数 y y cos sin . 通解y = C1 x +C2 x 观察有
2.二阶非齐次线性方程的解的结构 定理3设y是二阶非齐次线性方程 y"+P(x)y'+2(x)y=f(x) (2) 的一个特解，Y是与(2)对应的齐次方程(1)的 通解，那么y=Y+y是二阶非齐次线性微分 方程(2)的通解， 经济数学一微积分
2.二阶非齐次线性方程的解的结构 定 理 3 设 * y 是二阶非齐次线性方程 y + P(x) y + Q(x) y = f (x) (2) 的一个特解, Y 是 与(2)对应的齐次方程(1)的 通 解, 那 么 * y = Y + y 是二阶非齐次线性微分 方 程(2)的通解
定理4设1，y2是非齐次方程(2)的解，那么 1一'2就是非齐次方程(2)所对应的齐次方程(1) 的解. 定理5 设非齐次方程(2)的右端f(x)是几个函 数之和，如y”+P(x)y'+2(x)y=f(x)+f2(x) 而y与y分别是方程， y"+P(x)y'+2(x)y=f(x) 解的叠加原理 y"+P(x)y'+2(x)y=f(x) 的特解，那么y+y就是原方程的特解， 经济数学一微积分
定 理 4 设 1 2 y ，y 是非齐次方程(2)的 解,那 么 1 2 y − y 就是非齐次方程(2)所对应的齐次方程(1) 的 解. 定 理 5 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) y + P x y + Q x y = f 1 x + f 2 x 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) y + P x y + Q x y = f 1 x ( ) ( ) ( ) y + P x y + Q x y = f 2 x 的特解, 那 么 * 2 * 1 y + y 就是原方程的特解. 解的叠加原理
例1已知y1=3,y2=3+x2,y3=3+x2+e*都是微分方程 (x2-2xy"-（x2-2y'+2x-2y=6x-1) 的解，求其所对应的次微分方程的通解 解 y1,y2,3都是微分方程的解， 3-y2=,y2-y1=x2, 、是对应济次方程的解。又=≠常数 所求通解为y=C（y3-y2)+C2(y2-y1) =C1e'+Cx2. 经济数学一微积分
1 2 3 y , y , y 都是微分方程的解, , 3 2 x y − y = e , 2 y2 − y1 = x 是对应齐次方程的解, 2 2 1 3 2 x e y y y y x = − − 又 常数 所求通解为 . 2 C1 e C2 x x = + ( ) ( ) 1 3 2 2 2 1 y = C y − y + C y − y 例1 解 ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 2 6 1 3 3 3 2 2 2 3 2 1 2 的解，求其所对应的齐次微分方程的通解 已 知 ， ， ＋ 都是微分方程 − − − + − = − = = + = + x x y x y x y x y y x y x e x
三、二阶常系数齐次线性方程解法 特征方程法 y"+py'+心=0 设y=e,将其代入上述方程，得 (r2+pr+g)erx =0 .e≠0， 故有r2+pr+q=0 特征方程 特征根=D±Vp-4 2 经济数学—一微积分
三、二阶常系数齐次线性方程解法 -----特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上述方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 , 2 4 2 1,2 p p q r − − 特征根 = y + py + qy = 0
1)有两个不相等的实根（△>0） 特征根为=D+D-,月=p-p- 2 2 两个线性无关的特解 y=en,y=e, 得齐次方程的通解为y=C,ew+C,enx; 经济数学一微积分
1)有两个不相等的实根 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e + C e ( 0) 特征根为
2）有两个相等的实根（△=0） 特征根为1=乃=- 2 ,一特解为1=e, 设另一特解为y2=u(x)e, 将y2,,y代入原方程并化简， w"+(2+p)W+(2+pr+q)u=0, 知”=0，取(x)=x,则y,=xe, 得齐次方程的通解为y=(C,+C2x)e; 经济数学一微积分
2) 有两个相等的实根 , 1 1 r x , y = e 2 1 2 p r = r = − ( = 0) 一特解为 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C + C x e 将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 特征根为