嘉兴学院 课件 二重积分的计算法二_高等数学第九章（2）

第二节二重积分的计算法（2) 一、利用极坐标系计算二重积分 二、广义二重积分 三、小结思考题 经济数学一微积分 Oo O

三、小结 思考题 第二节 二重积分的计算法（2） 一、利用极坐标系计算二重积分 二、广义二重积分

一、利用极坐标计算二重积分 (polar coordinates) △a,=2+A).△8，-2·△8 P=+△ 0=0,+△0， =0+a14a0 r=r △ =5++△DAA8, 2 =F△r·△0， J∬fx,Jy)=J∬f(rcos0,.rsin)rdrd. D 经济数学—一微积分

A o D  i i r = r i i r = r + r  =  i +  i  =  i i i i i i i  = r + r   − r   2 2 2 1 ( ) 2 1 i i i i = (2r + r )r   2 1 i i i i i r r r r    + +  = 2 ( ) , i i i = r  r   ( , ) ( cos , sin ) .   = D D f x y dxdy f r  r  rdrd 一、利用极坐标计算二重积分 (polar coordinates)

二重积分化为二次积分的公式（1) 区域特征如图 r=p(Θ) r=p2(0) a≤0≤B, D p,(0)≤r≤p,(0), Sf(rcos0,rsin0)rdrde (rsimyr. 经济数学一微积分

( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1   =       d f r  r  rdr   A D o ( ) r = 1  ( ) r = 2   D f (r cos ,rsin )rdrd 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图      , ( ) ( ). 1   r  2 

区域特征如图 r=0,(0) r=p,(0) a≤0≤B, p1(0)≤r≤p2(0). f(rcos0,rsine)rdrdo (r0.rimr 经济数学一微积分

区域特征如图      , ( ) ( ). 1   r  2  ( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1   =       d f r  r  rdr  D f (r cos ,rsin )rdrd   o A D ( ) 2 r =   ( ) 1 r =  

二重积分化为二次积分的公式（2) 区域特征如图 r=o(e) D a≤0≤B, 0≤r≤p(8): f(rcos0,rsin0)rdrde -doffreos0,rsin0)rdr. 经济数学一微积分

o A D r =() ( cos , sin ) . ( )  0 =     d f r  r  rdr 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图      , 0  r  ( ).  D f (r cos ,rsin )rdrd  

二重积分化为二次积分的公式（3) r=p(0) 区域特征如图 D 0≤0≤2π， 0≤r≤p(0): SSf(rcos0,rsin0)rdrde =∫dB∫(rcos0,.rsin8)rtr. 极坐标系下区域的面积o=J厂rtrd8. 经济数学一微积分

 D f (r cos ,rsin )rdrd ( cos , sin ) . ( ) 0 2 0  =    d f r  r  rdr 极坐标系下区域的面积 .  = D  rdrd 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 0  r  ( ). D o A r =() 0    2

例1写出积分∬f(x,y)c的极坐标二次积分形 式，其中积分区域 D={(x,y)川1-x≤y≤V1-x2,0≤x≤1. x=rcos0 解在极坐标系下 x2+y2=1 y=rsin 所以圆方程为r=1, 0.6 1 0.2 x+y=1 直线方程为r= sin0+cos0 0.20.40.60.81 ∬fc,Jy)d=a0, f(rcos0,rsine)rdr. sin 0+cos6 经济数学 微积分

例 1 写出积分 D f (x, y)dxdy的极坐标二次积分形 式，其中积分区域 {( , )| 1 1 , 2 D = x y − x  y  − x 0  x  1}. x + y = 1 1 2 2 解 在极坐标系下 x + y =    = =   sin cos y r x r 所以圆方程为 r = 1, 直线方程为 sin cos 1 + r = ,  D f (x, y)dxdy ( cos , sin ) . 2 0 1 sin cos   1 + =    d f r  r  rdr

例2计算∬e-dk,其中D是由中心在 原点，半径为Q的圆周所围成的闭区域。 解 在极坐标系下 D:0≤r≤M,0≤0≤2π. ∬e--dxdy=u用errt =π(1-e) 经济数学—一微积分

例 2 计算 e dxdy D x y  − − 2 2 ，其中 D 是由中心在 原点，半径为a的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系下 D：0  r  a，0    2. e dxdy D x y  − − 2 2   −  =  a r d e rdr 0 2 0 2 (1 ). 2 a e − =  −

例3 求广义积分ek. 解D,={,y)川x2+y2≤R2} D2={(x,y)川x2+y2≤2R2} D S={(x,y)川0≤x≤R,0≤y≤R {x≥0，y≥0}显然有D,CSCD2 e-y>0, efys∬eys∬ey: 经济数学一微积分

例 3 求广义积分  − 0 2 e dx x . 解 {( , )| } 2 2 2 D1 = x y x + y  R {( , )| 2 } 2 2 2 D2 = x y x + y  R {x  0, y  0} S = {(x, y)| 0  x  R,0  y  R} 显然有 D1  S  D2 0, 2 2  − x − y  e   − − 1 2 2 D x y e dxdy  − −  S x y e dxdy 2 2 . 2 2 2  − −  D x y e dxdy D1 SD2 S D1 D2 R 2R

又：I=∬er-ycd -fedfed =(et)' 1-fe-ri =用ert=不-e月 同理1，=广e-y=平1-e2方 经济数学一微积分

又  − − = S x y I e dxdy 2 2    − − = R y R x e dx e dy 0 0 2 2 ( ) ; 2 0 2  − = R x e dx I1 =  − − 1 2 2 D x y e dxdy   −  =  R r d e rdr 0 0 2 2 (1 ); 4 2 R e − −  = 同理I2 =  − − 2 2 2 D x y e dxdy (1 ); 4 2 2R e − −  =