第一节二重积分的概念与性质 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结思考题 经济数学一微积分
一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 思考题 第一节 二重积分的概念与性质
一、问题的提出 1.曲顶柱体的体积(volume) 柱体(cylindrical body)体积 =底面积×高 特点：平顶 (x,y 曲顶柱体体积=？ D 特点：曲顶(curved vertex surface) 经济数学一微积分
柱体(cylindrical body)体积 =底面积×高 特点：平顶. 曲顶柱体体积=？ 特点：曲顶(curved vertex surface). z = f (x, y) D １．曲顶柱体的体积(volume) 一、问题的提出
求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、 求和、取极限”的方法，先看动画演示， 经济数学一微积分 O
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，先看动画演示
刚才大家看到是曲顶柱体的底面网格划分比较稀 的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的 情况. 经济数学一微积分 OOo O
刚才大家看到是曲顶 柱体的底面网格划分比较稀 的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的 情况
曲顶柱体体积的计算步骤是： 先分割曲顶柱体的 底，并取典型小区 f(x,y) 域△o,求对应小 曲顶柱体体积的近 似值. 用若干个小平顶柱 体体积之和近似表 (5,n,) 示曲顶柱体的体积， 曲顶柱体的体积V=lim∑f(5,n:)Ao 2→01 经济数学—一微积分
曲顶柱体体积的计算步骤是： 用若干个小平顶柱 体体积之和近似表 示曲顶柱体的体积. x z y o D z = f (x, y) i • ( , ) i i lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f = = 曲顶柱体的体积 → 先分割曲顶柱体的 底，并取典型小区 域 ，求对应小 曲顶柱体体积的近 似值. i
2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域 D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定 p(x,y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ 将薄片分割成若干小块，’ (5,,) 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，求质量。 △ 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 M=lim∑p5,,)△o -04 经济数学一微积分
设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为(x, y)，假定 (x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ ２．求平面薄片的质量 i • ( , ) i i 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，求质量. 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M i = = → x y O
二、二重积分的概念 定义设f(K,y)是有界闭区域D上的有界函数， 将闭区域D任意分成n个小闭区域△o1, △02，…，△on,其中△o,表示第i个小闭区域， 也表示它的面积，在每个△o;上任取一点(5,7：)， 作乘积f(5,n:)△o (i=1,2,…,m), 并作和 2⑤n4o 经济数学 微积分
定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D上的有界函数， 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 1， 2 , ， n ，其中 i 表示第 i 个小闭区域， 也表示它的面积，在每个 i 上任取一点( , ) i i ， 作乘积 ( , ) i i f i， (i = 1,2, ,n)， 并作和 i i n i i f = ( , ) 1 , 二、二重积分的概念
如果当各小闭区域的直径中的最大值入趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y) 在闭区域D上的二重积分(double integral), 记为f(x,y)do, D 即 (x,P lim ∑f(5,7)△o →0 积 被 分区 积积 积函数 分变量 积表达 翁 经济数学 微积分
积分区域 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y ) 在闭区域 D 上的二重积分(double integral)， 记为D f ( x, y ) d ， 即 D f ( x, y ) d i i ni i f = = → lim ( , ) 1 0 . 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素
对二重积分定义的说明： (①)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当f(x,y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在。 二重积分的几何意义： 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积. 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值. 经济数学一微积分
(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f (x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义: 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
在直角坐标系下用平行 于坐标轴的直线网来划分区 y 域D, 则面积元素(areal element) 为 0 dσ=dy 故二重积分可写为 fx,)=fx,)4 经济数学 一微积分
在直角坐标系下用平行 于坐标轴的直线网来划分区 域D， = D D f (x, y)d f (x, y)dxdy d = dxdy 故二重积分可写为 x y O D 则面积元素(areal element) 为