习题裸（一） 第十二章 一阶微分方程的 解法及立用 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 等HIGH EDUCATION PRESS
一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第十二章
一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 四个标准类型：可分离变量方程，齐次方程 线性方程，全微分方程 关键：辨别方程类型，掌握求解步骤 2.一阶非标准类型方程求解 (1)变量代换法一 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2)积分因子法一 选积分因子，解全微分方程 等HIGH EDUCATION PRESS 9008 机动目录上页下页返回结束
一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求下列方程的通解 ①y+1ex=0: Q2)xy=x-x2+y; (3)y= 6x3+3xy2 2x-y2 (4)y'=- 3x2y+2y3 提示：(1)因e+x=ee,故为分离变量方程 y2e-dy=e*dx 通解 e =ex+C 考HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧
例1. 求下列方程的通解 0; 1 (1) 3 2 + = y +x e y y 提示: (1) , 3 3 y x y x e = e e 因 + 故为分离变量方程: 通解 (2) ; 2 2 xy = x − y + y ; 2 1 (3) 2 x y y − = . 3 2 6 3 (4) 2 3 3 2 x y y x xy y + + = − y e y e x y x d d 3 2 − = − e e C y x = + − 3 3 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Q)xv=yx2-+y 方程两边同除以x即为齐次方程，令y=x,化为分 离变量方程 x>0时，y=,1-( →x=√1-w x<0时，y=-,1-(Y) +→x'=-1-u (3)y'= 2x- 调换自变量与因变量的地位，化为 dx-2x=-y2, 用线性方程通解公式求解 等HIGH EDUCATION PRESS
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , xy = x − y + y 2 2 (2) x 0时， 2 xu = 1− u 2 xu = − 1− u ( ) x y x y y = − + 2 1 ( ) x y x y y = − − + 2 1 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 2 2 1 (3) x y y − = 2 , d d 2 x y y x − = − 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(4)y= 6x3+3xy2 3x2y+2y3 方法1这是一个齐次方程.令= 方法2化为微分形式 (6x3+3xy2)dx+(3x2y+2y3)dy=0 P=6y= 80 O 8x 故这是一个全微分方程 等HIGH EDUCATION PRESS -0C08 动目最上页下页返回结束
2 3 3 2 3 2 6 3 (4) x y y x xy y + + = − 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 (6 3 )d (3 2 )d 0 3 2 2 3 x + xy x + x y + y y = 故这是一个全微分方程 . x y 令 u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x Q xy y P = = 6
例2.求下列方程的通解 (1)xy+y=y(Inx+Iny) (2)2xInxdy+y(y2Inx-1)dx =0 (6)y=3x2+y2-6x+3 2xy-2y (4)y2(x-3y)dx+(1-3xy2)dy=0 提示：(1)原方程化为(xy)'=yln(xy) 令u=xy,得d-”1nu (分离变量方程) dx x (2)将方程改写为 dy (贝努里方程) 令z=y2 dx 2xInx' 2x 》HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧
例2. 求下列方程的通解: (1) xy + y = y (ln x + ln y ) 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (2) 2 ln d ( ln 1)d 0 2 x x y + y y x − x = xy y x y x y 2 2 3 6 3 (3) 2 2 − + − + = (4) ( 3 )d (1 3 )d 0 2 2 y x − y x + − xy y = u x u x u ln d d = x y y x x x y 2 ln 2 1 d d 3 − = − (贝努里方程) −2 令 z = y (分离变量方程) 原方程化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3)y=3x2+y2-6x+3 2xy-2y 化方程为 dy_3(x-1)2+y2 dx 2y(x-1) 令t=x-1,则 dy_dydtdy dx didx di dy 312+y2 (齐次方程 dt 2ty 令y=ut 可分离变量方程求解 等HIGH EDUCATION PRESS
令 y = u t xy y x y x y 2 2 3 6 3 (3) 2 2 − + − + = 2 ( 1) 3( 1) d d 2 2 − − + = y x x y x y (齐次方程) t y t y t y 2 3 d d 2 2 + = 令 t = x – 1 , 则 t y x t t y x y d d d d d d d d = = 可分离变量方程求解 化方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(4)y2(x-3y)dx+(1-3xy2)dy=0 变方程为y2xdx+dy-3y(dx+xdy)=0 两边乘积分因子4=y2 xdx+y-2dy-3(rdx+xdy)=0 用凑微分法得通解 x2-y1-3xw=℃ 等HIGH EDUCATION PRESS ©-90C08 机动目录上页下页返回结束
(4) ( 3 )d (1 3 )d 0 2 2 y x − y x + − xy y = 变方程为 y xdx dy 2 + 两边乘积分因子 −2 = y d d 3( d d ) 0 2 + − + = − x x y y y x x y 用凑微分法得通解: x −y − xy = C − 3 2 1 2 1 3 ( d d ) 0 2 − y y x + x y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.设Fx)=f(x)g(x),其中函数x),g(x)在(-o,+o) 内满足以下条件：f'(x)=8(x),g'(x)=f(x),且f(O)=0, f(x)+g(x)=2e*. (1)求Fx)所满足的一阶微分方程， (2)求出Fx)的表达式. (03考研) 解：(1).F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g(x) =g2(x)+f2(x) =[g(x)+f(x)]-2f(x)g(x) =(2e)2-2F(x) 所以Fx)满足的一阶线性非齐次微分方程： 考HIGH EDUCATION PRESS e900a28
例3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f (x) = g(x), g (x) = f (x), 且 f (0) = 0, (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . (03考研) 解: (1) F(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( ) ( ) 2 2 = g x + f x [ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2 = g x + f x − f x g x (2 ) 2 ( ) 2 e F x x = − 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: ( ) ( ) 2 . x f x + g x = e
F'(x)+2F(x)=4e2x (2)由一阶线性微分方程解的公式得 F(x)=eJ2[[4e2dx+C] =e2x[[4e dx+C] e2x Ce-2x 将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1 于是 F(x)=e2x -e-2x 等HIGH EDUCATION PRESS Qe.00a08
机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 F x e e e x C x x x = + − ( ) 4 d 2d 2 2d e e x C x x = + − 4 d 2 4 将 F(0) = f (0)g(0) = 0 代入上式，得 C = −1 于是 x x F x e e 2 2 ( ) − = − x F x F x e 2 ( ) + 2 ( ) = 4 x x e Ce 2 −2 = +