第一章 习数裸 益教与极很 一 函数 二、连续与间断 三、极限 毫HIGH EDUCATION PRESS
二、 连续与间断 一、 函数 三、 极限 习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数与极限 第一章
一、 函数 1.1 函数的概念 定义：设DcR,函数为特殊的映射 f:D →f(D)cR 定义域 值域 其中f(D)={yy=f(x),x∈D} 图形： y=f(x) C={(x,y)y=f(x),x∈D} (一般为曲线)》 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下贡返回结束
y y = f (x) x o D 一、 函数 1. 函数的概念 定义: 定义域 值域 图形: ( 一般为曲线 ) 设 函数为特殊的映射: 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 函数的特性 有界性，单调性，奇偶性，周期性 3.反函数 设函数f:D→f(D)为单射，反函数为其逆映射 f1:f(D)→D 4.复合函数 给定函数链f:D1→f(D) g:D-→g(D)cD 则复合函数为f。g:D→f[g(D)] 5.初等函数 有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数 》HIGH EDUCATION PRESS e000⊙
2. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 为单射, 反函数为其逆映射 f f D → D − : ( ) 1 4. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 f g : D → f [g(D)] 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设函数f(x)= 3x+1,x<1 求几f(x] ，x≥1 解： 3f(x)+1 f(x)<1 →x<0 fLf(x】= f(x), f(x)≥1 3(3x+1)+1 9x+4,x<0 3x+1, 0≤x<1 x≥1 等HIGH EDUCATION PRESS
例1. 设函数 , , 1 3 1, 1 ( ) + = x x x x f x f [ f (x)] = 3 f (x) +1, f (x) 1 f (x) , f (x) 1 x 0 = 9x + 4 , x 0 3(3x +1) +1 0 x 1 x , x 1 求 f[ f (x)]. 解: 3x +1, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.设f(x)+()=2x,其中x≠0，x≠1求f(x) 解：利用函数表示与变量字母的无关的特性· 令1=，即x=,代入原方程得 f)+f0=2,即f()+fm)=2 令=“分，即x=,代入上式得 )+)=20,即)+f)=2D 1+1-1 画线三式联立>f(x)=x++ x 1-x 等HIGH EDUCATION PRESS 90C08 机动目录上页下页返回结束
解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 . , 1 x x t − = , 1 1 t x − = 代入原方程得 , 1 1 1 u u x − − = 代入上式得 设 其中 求 令 即 即 令 即 画线三式联立 即 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习 1.下列各组函数是否相同？为什么？ (1)f(x)=cos(2arccosx)(x)=2x2-1,xE[-1,1] 相同 @e-位8与0=a*a-门 相同 (3)f(x)= 0,x≤0 x,x>0 与p(x)=fLf(x] 相同 考HIGH EDUCATION PRESS 周e00o8
思考与练习 1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? (1) f (x) = cos(2arccos x) ( ) 2 1, [ 1,1] 2 与 x = x − x − = a x a x x a f x , , (2) ( ) 2 ( ) 2 1 与(x) = a + x − a − x = , 0 0, 0 (3) ( ) x x x f x 与(x) = f [ f (x)] 相同 相同 相同 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.下列各种关系式表示的y是否为x的函数？为什么？ ①)y= 不是 Vsin x-l (2)y=max{sinx,cosx,x∈[0，z] 是 (3)y=arcsinu,u=2+x2 不是 COSx, 0≤x≤写 提示：(2) sinx, <x≤ 等HIGH EDUCATION PRESS
2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么? sin 1 1 (1) − = x y (2) max sin , cos , [0, ] 2 y = x x x 2 (3) y = arcsin u , u = 2 + x 不是 4 0 cos x, x 4 2 sin x, x 是 不是 提示: (2) y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.下列函数是否为初等函数？为什么？ x<0=x x≠0 w-&-士- (4)f(x)= 个 以上各函数都是初等函数 等HIGH EDUCATION PRESS 090C08 机动目录上页下页返回结辣
+ − = 1 , 0 1 , 0 (4) ( ) 3 3 x x x x f x − = 1, 0 1, 0 (2) ( ) x x f x = 4, 1 2, 1 (3) ( ) x x f x , 2 x x = x y o 4 2 1 ⑶ − = + 1, 1 1, 1 3 x x 1 ( 1) 3 2 − − = + x x 1 , 6 = − x o x y 1 −1 ⑵ x 0 x 1 xR 3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ? − = , 0 , 0 (1) ( ) x x x x f x 2 = x x y 1 ⑷ 以上各函数都是初等函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
4.设fx)=e,f[(x】=1-x,且o(x)≥0，求p(x) 及其定义域 x-3, 5.已知f(x)= f[f(x+5], 8求6 x≥8 6.设f(snx+ 1）=cs2x-cos2x,求f) sin x 4.解f(x)=ejLp=e0) 由 ep()=1-x 得 p(x)=Vn(1-x),x∈(-o,0] 音HIGH EDUCATION PRESS
4. 设 ( ) , [ ( )] 1 , ( ) 0, 2 f x = e f x = − x x x 且 求 (x) 及其定义域 . 5. 已知 + − = [ ( 5)], 8 3, 8 ( ) f f x x x x f x , 求 f (5). 6. 设 ) csc cos , sin 1 (sin 2 2 x x x f x + = − 求 f (x). 由 得 (x) = ln(1− x) , x(−,0] x 4. 解: x (x) (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
x-3, x≥8 5.已知f(x)= f[f(x+5],x<8 求f6 解：f(5)=fLf(10]=f(10-3)=f(7)=f[f12)] =f(12-3)=f(9)=6 6.设f6mx+1)=cse2x-s2x,求f) sin x 解：fsnx+)=+sn2x-1 sinx sinx =(snx+L)2-3 sinx fx)=x2-3 等HIGH EDUCATION PRESS
= f[ ] 5. 已知 + − = [ ( 5)], 8 3, 8 ( ) f f x x x x f x , 求 f (5). 解: f (5) f (10) = f ( ) = f (7) = f [ ] = f ( ) = f (9) = 6 6. 设 ) csc cos , sin 1 (sin 2 2 x x x f x + = − 求 f (x). 解: (sin ) sin 1 2 sin 1 sin 1 2 f x + = + x − x x (sin ) 3 2 sin 1 = + − x x ( ) 3 2 f x = x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束