第三节分部积分法 一、基本内容 二、小结 三、思考题 经济数学一微积分
一、基本内容 二、小结 三、思考题 第三节 分部积分法
基本内容 问题 ∫xe*dk=? 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则。 设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数， (uv)=u'v+uv',uv'=(uv)-u'v, ∫uw'dk=uv-∫dk,∫u=uv-∫. 一分部积分公式(integration by parts) 经济数学一微积分
问题 xe dx = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = uv dx uv u vdx, = − udv uv vdu. = − －－－－－分部积分公式(integration by parts) 一、基本内容
例1 求积分xcosxdx. 解（一） 令in=cos,=d(x）=d ∫rcs=& cosinds 显然，山，选择不当，积分更难进行。 解（二)令w=K,cosxdx=dsinx=w ∫wcos.xd&=∫xdsin=xsinx--∫sinx =xsinx+cosx+C. 经济数学 微积分
例1 求积分 cos . x xdx 解（一） 令 u = cos x, xdx = d(x ) = dv 2 2 1 xcos xdx = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u = x, cos xdx = d sin x = dv xcos xdx = xd sin x = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x +C
例2 求积分∫xe*dc. 解 u=x2, e*dx=dex dv, x"e*dx=x"e*-2[xe*dx (再次使用分部积分法)u=x,e=dw ±x2e'-2(xe'-e)+C. 。总结若被积函数是幂函数和正（余）弦函数 或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函 数为山，使其降幂一次（假定幂指数是正整数） 经济数学—一微积分
例2 求积分 . 2 x e dx x 解 , 2 u = x e dx de dv, x x = = x e dx 2 x = x e − xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u = x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分∫xarctan xo. 解 令u=arctanx,xd=d x2 2 =dv ∫xarctan.xi=r arctanx-J2 2 d(arctanx) arctanx- 1 2 21+x arctanx J2 1+k2 -arctanx-(x-arctanx)+C. 2 经济数学一微积分
例3 求积分 arctan . x xdx 解 令 u = arctan x , dv x xdx d = = 2 2 xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = − − ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +
例4求积分x3lnxk. 解 u=Inx,x'dx=d =d, fxmx-1x'mx- 4 alx'de =xInx-x+C. 4 16 总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为. 经济数学一微积分
例4 求积分 ln . 3 x xdx 解 u = ln x, , 4 4 3 dv x x dx d = = x ln xdx 3 = x x − x dx 4 3 4 1 ln 4 1 . 16 1 ln 4 1 4 4 = x x − x + C 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u.
例5 求积分「sin(In x)d. 解 ∫sin(In x)dc=xsin(Inx)-xd[sin(lnx)】 -xsin(nx)-fxcos(nx).I =xsin(Inx)-xcos(Inx)+xd[cos(Inx)] x[sin(In x)-cos(Inx)]-[sin(In x)dx [sin(n sin(n)-cos(n+C. 经济数学—一微积分
例5 求积分 sin(ln ) . x dx 解 sin(ln x)dx = − xsin(ln x) xd[sin(ln x)] = − dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln ) = − + xsin(ln x) xcos(ln x) xd[cos(ln x)] = − − x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x = − +
例6求积分e*sinx. 解∫e*sin xdx =∫sin.xcdle） =e*sinx-[e*d(sinx) =e*sinx-∫e'cos,rk=e'sinx-∫cosxdle*) =e*sinx-(e*cosx-[e*dcosx) -e*(sinx-cosx)-Se*sinxdx 注意循环形式 .e'sin=ginr-os对+ 经济数学一微积分
例6 求积分 sin . e xdx x 解 e xdx x sin ( ) = x sin xd e = − e sin x e d(sin x) x x = − e x e xdx x x sin cos ( ) = − x x e sin x cos xd e = − − e sin x (e cos x e d cos x) x x x = − − e x x e xdx x x (sin cos ) sin e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x = − + 注意循环形式
例7 求积分∫生araa dx. V1+x2 解(1+)-安 Tra-j小mnd1 =v1+xarctanx-[v1+xd(arctanx) 经济数学 微积分
例7 求积分 + . 1 arctan 2 dx x x x 解 ( ) , 1 1 2 2 x x x + = + + dx x x x 2 1 arctan ( ) = + 2 arctan xd 1 x 1 arctan 1 (arctan ) 2 2 x x x d x = + − + dx x x x x 2 2 2 1 1 1 arctan 1 + = + − +
=v1+x2arctanx 令x=tant ∫-1tn,e-小c恤 In(sect+tant)+C=In(x+1+x2)+C xarctanx dx ·J1+x2 =V1+x2arctanx-In(x+V1+x2)+C. 经济数学—一微积分 ■
dx x x x + = + − 2 2 1 1 1 arctan 令 x = tant dx x + 2 1 1 + = tdt t 2 2 sec 1 tan 1 = sectdt = ln(sec t + tant) +C = ln( x + 1+ x ) + C 2 + dx x x x 2 1 arctan 1 x arctan x 2 = + ln( 1 ) . 2 − x + + x + C