司数保 第八章 一、基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 HIGH EDUCATION PRESS 动目最上页下页返回结束
习题课 第八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法
基本概念 1.多元函数的定义、极限、连续 ·定义域及对应规律 ·判断极限不存在及求极限的方法 ·函数的连续性及其性质 2.几个基本概念的关系 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 考HIGH EDUCATION PRESS 周R000⑧
一、 基本概念 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习 1.讨论二重极限lim 一时，下列算法是否正确？ x→0x+1 1y>0 1 解法1原式=lim 01+1 三0 y-→0yx 解法2令y=kx,原式=limx =0 x01+k 解法3 令x=rcos0,y=rsin8, 原式=lim rcosesin =0 r->ocos0+sin0 等HIGH EDUCATION PRESS
思考与练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 原式 解法2 令 y = kx, 解法3 令 x = r cos , y = rsin, 时, 下列算法是否正确?
分析： 解送1lim 一=lim 0 x0x+yx>01+ 1y>0 →0yx 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况，第二步 未考虑分母变化的所有情况，例如，y=一时，}+}=1， 此时极限为1 k 解送2令y=kx,原式=limx, .=0 x01+k 此法排除了沿曲线趋于原点的情况.例如y=x2-x时 原式=lim x3-x2 】 x→0X 等HIGH EDUCATION PRESS 九动目录上页下页返回结束
分析: 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 解法2 令 y = kx, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y = x 2 − x时 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, , , 1, 1 1 1 = + = x− y x x 例如 y 时
解令x=rcos0,y=rsin0 原式=1im rcosesine =0 r-0cos0+sin0 此法忽略了0的任意性，当r→0,0→-马时 rcossin0 rcos0sin0 极限不存在！ cos0+sin0√2sin(径+0) 由以上分析可见，三种解法都不对，因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点.同时还可看到， 本题极限实际上不存在 特别要注意，在某些情况下可以利用极坐标求极限。 但要注意在定义域内”，的变化应该是任意的 音HIGH EDUCATION PRESS 周f009⑧
解法3 令 x = r cos , y = rsin, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了 的任意性, 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在
x2y2 x2+y2≠0 2.证明： / fx,)=x2+y2)2 0 x2+y2=0 在点0,0)处连续且偏导数存在，但不可微. 提示：利用2xy≤x2+y2,知 小sx2+为 .limf(x,y)=0=f(0,0) x→0 y→0 故f在(0,0)连续 又因f(x,0)=f(0,y)=0,所以f(0,0)=f(0,0)=0 等HIGH EDUCATION PRESS 周8g8
+ = + + = 0 , 0 , 0 ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 提示: 利用 2 , 2 2 xy x + y 2 1 2 2 ( ) 4 1 f (x, y) x + y lim ( , ) 0 (0, 0) 0 0 f x y f y x = = → → 故f 在 (0,0) 连续; 又因 f (x,0) = f (0, y) = 0, (0,0) = (0,0) = 0 x y 所以 f f 知 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
而 △f0,0 (△x)2(△y)2 3/ [(Ax)2+(△y)2]2 当Ax→0，△y→0时， △f0,0 △x)2(△y)2 V(△x)2+(△y)2[(△x)2+(△y)2]2 >0 所以f在点(0,0)不可微！ 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
而 f (0,0) = 当x → 0，y → 0时, 2 2 (0,0) ( x) ( y) f + 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y + = 0 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 2 3 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.已知f(x+y,x-y)=x2-y2+p(x+y),且 f(x,0)=x,求出f(x,y)的表达式 解法1令u=x+y,v=x-y,则 x=(u+v),y=(u-v) ∴.f(u,y)=}(u+v)2-(u-y)2+p(u)=w+p(0) 即 f(x,y)=xy+@(x) f(x.0)=xx)=x f(x,y)=x(y+1) 解法2f(x+y,x-y)=(x+y(x-y)+p(x+y) ∴：f(x,y)=xy+p(x)以下与解法1相同 等HIGH EDUCATION PRESS 周800g8
例1. 已知 求出 f (x, y) 的表达式. 解法1 令 f (u,v) 即 f (x, 0) = x, f (x, y) = x (y +1) 解法2 f (x + y, x − y) = (x + y)(x − y) + (x + y) 以下与解法1 相同. ( , ) ( ), 2 2 f x + y x − y = x − y + x + y f (x，0) = x, 则 (x) = x 且 v = x − y , ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 4 1 = u + v − u − v + u 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 多元函数微分法 显示结构 1.分析复合结构 隐式结构 (画变量关系图 自变量个数=变量总个数-方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2.正确使用求导法则 “分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3.利用一阶微分形式不变性 等HIGH EDUCATION PRESS
二、多元函数微分法 显示结构 隐式结构 1. 分析复合结构 (画变量关系图) 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.设z=xf(x+y),F(x,y,z)=0,其中f与F分别具 dz 有一阶导数或偏导数，求，兰.(99考研) d x 解法1方程两边对x求导，得 =f+xf”+d) dz xrdy.d= =f+xf' dx dx dx dx F+F趵 +rd==0 dy dx F 'dx dx =-F -xf”f+xf" d z -F xF f'-xF f'-fF dx xf” 1 -xf"'F-F F (xf'F3+F≠O) 等HIGH EDUCATION PRESS ●90008 机动目录上页下页返回结束
例2. 设 其中 f 与F分别具 解法1 方程两边对 x 求导, 得 = x z d d ( 0) x f F3 + F2 F3 F2 − x f − = 1 F2 F3 x f − F2 F1 x f f x f − − + 1 2 F2 xF f − x F f − f 有一阶导数或偏导数, 求 f x f x z x y − x f + = + d d d d 2 3 1 d d d d F x z F x y F + = − (99 考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束