第一节定积分的概念 一、问题的提出 二、 定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义 五、小结 思考题 经济数学—一微积分
一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义 五、小结 思考题 第一节 定积分的概念
问题的提出 实例1（求曲边梯形的面积） 曲边梯形由连续曲线 y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0)小 A=? x轴与两条直线x=a、 b x=b所围成. 经济数学—一微积分
a b x y o A = ? 曲边梯形由连续曲线 实例1 （求曲边梯形的面积） y = f (x)( f (x) 0)、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成. 一、问题的提出 y = f (x)
用矩形面积近似取代曲边梯形面积 少 0 b xol a (四个小矩形) (九个小矩形) 显然，小矩形越多，矩形面积和越接近 曲边梯形面积. 经济数学一微积分 oO
a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形面积和越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 3个分割点的图示 1.(上和-下和) 1.05556(积分近似值) 经济数学—一微积分
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放
曲边梯形如图所示，在区间a,b内插入若干 个分点，a=X0<X1<X2<…<Xm-1<Xm=b, 把区间[a,b]分成n 个小区间[x-1,x 长度为△x,=x-X- 在每个小区间[x1,x】 上任取一点5， xi-xi 以[-1，x,为底，f(传)为高的小矩形面积为 A=f(5i)△x: 经济数学一微积分
曲边梯形如图所示， a x x x x x b, [a,b] 个分点， = 0 1 2 n−1 n = 在区间 内插入若干 a b x y o i x1 xi−1 xi xn−1 ; [ , ] [ , ] 1 1 − − i = i − i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分成 上任取一点 ， 在每个小区间 i xi xi [ , ] −1 i i xi A = f ( ) 以[xi−1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为
曲边梯形面积的近似值为 A≈∑fG,)Ax i= 当分割无限加细，即小区间的最大长度 2=max{△x1,△x2,…△xn} 趋近于零(2→0)时， 曲边梯形面积为A=lim∑f(传，)△x: 01 经济数学 微积分 Oo O
i n i A f i x = ( ) 1 曲边梯形面积的近似值为 i n i A = f i x = → lim ( ) 1 0 趋近于零 时， 当分割无限加细 即小区间的最大长度 ( 0) max{ , , } , 1 2 → = x x xn 曲边梯形面积为
实例2（收益问题） 设某商品的价格P是销售量x的函数 P=P(x)。求当销售量从a变到b时的收益 为R多少？. 思路：把整个销售量段分割成若干小段，每小 段上价格看作不变，求出各小段的收益再相加， 便得到整个收益的近似值，最后通过对销售量 的无限细分过程求得收益的精确值. 经济数学—一微积分
实例2 （收益问题） 设某商品的价格 P 是销售量 x 的函数 P = P(x)。求当销售量从 a 变 到b 时的收益 为 R 多少？. 思路：把整个销售量段分割成若干小段，每小 段上价格看作不变，求出各小段的收益再相加， 便得到整个收益的近似值，最后通过对销售量 的无限细分过程求得收益的精确值．
(1)分割 Q=X0<X<X<<X<X=b AX:=X-X-1 (2)近似 △R≈P(z)△x, 部分收益值 某销售量时的价格 (3) 求和 R≈∑P(,)Ax i=l (4)取极限 元=max{△x1,△x2,…,△xn} 收益的精确值R=m∑P(z,)Ax 1→0 i=l 经济数学一微积分
（1）分割 a x x x x x b n n = = 0 1 2 −1 −1 = − i i i x x x i i i R P( )x 部分收益值 某销售量时的价格 （3）求和 i i n i R P x = ( ) 1 （4）取极限 max{ , , , } 1 2 n = x x x i n i i R = P x = → lim ( ) 1 0 收益的精确值 （2）近似
二、定积分(definite integral)的定义 定义设函数f(x)在a,b]上有界，在a,b]中任意插入 若干个分点M=X<X1<X2<…<Xm-1<Xn=b 把区间，b]分成1个小区间，各小区间的长度依次为 △x:=;-X:-1,(i=1,2,…),在各小区间上任取 一点5，(5：∈△，)，作乘积f(5)Ar(i=1,2,). 并作和S=∑f(5)△， 记2=maxx1,△x2,…,△xn},如果不论对a,b] 经济数学一微积分
设函数 f (x)在[a,b]上有界， 记 max{ , , , } = x1 x2 xn ，如果不论对[a,b] 在[a,b]中任意插入 若干个分点 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b 把区间[a,b]分成n个小区间， 各小区间的长度依次为 xi = xi − xi−1，(i = 1,2, )， 在各小区间上任取 一点 i（ i xi）， 作乘积 i i f ( )x (i = 1,2, ), 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1 ， 二、定积分(definite integral)的定义 定义
怎样的分法，也不论在小区间可x1,x;上 点5，怎样的取法，只要当入→0时，和S总趋于 确定的极限I,我们称这个极限I为函数f(x) 在区间可4，b]上的定积分，记为 积分和 积分上限 f(x)d∈I=lim∑f(5)△x 2→0 积分下限 [a,b]- 积分区间 积函数 被积表达式 分变量 经济数学—微积分
怎样的分法， = = ba f (x)dx I i i ni f x = → lim ( ) 1 0 被积函数 被积表达式 积分变量 [ a , b ] 积分区间 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 点 i怎样的取法，只要当 → 0时，和S总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分， 记为 积分上限 积分下限 积分和