第一节导数的概念 一、问题的提出 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数可导性与连续性的关系 五、小结思考题 经济数学 微积分
一、问题的提出 二、导数的定义 四、函数可导性与连续性的关系 五、小结 思考题 三、导数的几何意义 第一节 导数的概念
一、 问题的提出 1.变速直线运动的瞬时速度问题 考虑最简单的变速直线运 动一一自由落体运动，如图， 求t时刻的瞬时速度， 取一邻近于t的时刻t,运动时间△t, 平均速度v=As--=化，+0 △t t-to 2 当tt时，取极限得 atim 瞬时速度v=lim(t。+ 2=gto· t→to 2 经济数学—一微积分
一、问题的提出 1.变速直线运动的瞬时速度问题 0 t , t 求t 0时刻的瞬时速度 t 考虑最简单的变速直线运 动－－自由落体运动，如图, , 0 取一邻近于t 的时刻t 运动时间t, t s 平均速度 v = 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0 t t g = + , 当t → t 0时 取极限得 2 (t t) lim 0 0 + = → g v t t 瞬时速度 . 0 = gt
2.切线问题割线的极限位置 一切线位置 1.251.51.75 22.252.52.753播 经济数学一微积分
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放
如图，如果割线MN绕点 y=f(x M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. M 极限位置即 0 Xo MN→0，∠NMT-→0. 设M(xo,yo),N(x,y) 割线MN的斜率为tanp='-=f)-f) x-xo x-xo N_沿曲线C→M,x→x0, 切线MT的斜率为k=tan=lim f(x)-f(x,) x→xo x-xo 经济数学一微积分
T 0 o x x x y y = f (x) C N M 如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , N M x x0 ⎯沿曲线 ⎯ ⎯C→ → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = →
3.经济问题 设某产品的总成本W是产量x的函数W=W(x), x>0. 求总成本W(x)关于产量x的变化率 1.x0→x。+△x,W(x)→W(。+△x方 2.x变化为x。+△x时，总成本的变化 △W=W(x+△x)W(x)方 3.x到，+△之间总成本的平均变化率△严 △x 4.x,处总成本的变化率im △W A-0△x 经济数学—一微积分
3.经济问题 ( ) ( ) . 0. 求总成本 关于产量 的变化率 设某产品的总成本 是产量 的函数 ， W x x x W x W W x = ( ) ( ) ( ) ( ) 4. lim . 3. 2. 1. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x W x x W x x x W W x x W x x x x x x x W x W x x x + = + − + → + → + → 处总成本的变化率 到 之间总成本的平均变化率 ； ； 变化为 时，总成本的变化 ， ；
二、导数的定义(derivative) 1.函数在一点处的导数与导函数 定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义，当自变量x在x处取得增量△x(点 x。+△x仍在该邻域内)时，因变量y相应地取 得增量△y=f(x+△x)-f(xo);如果△y与 △x之比当△x→0时的极限存在，则称函数 y=f(x)在点x处可导，并称这个极限为函 数y=f(x)在点x处的导数，记为yx=, 经济数学—一微积分
二、导数的定义(derivative) ( ) , , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , , ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x = = = → = + − + = 数 在点 处的导数 记为 在点 处可导 并称这个极限为函 之比当 时的极限存在 则称函数 得增量 如果 与 仍在该邻域内 时 因变量 相应地取 有定义 当自变量 在 处取得增量 点 定义 设函数 在点 的某个邻域内 1. 函数在一点处的导数与导函数
或) dx 即y,= Ay=lim f(x。+△)-f(x) ar-0△XAr-0 △x 其它形式f'(x)=im f(xo+h)-f(xo) h0 h f(xo)=lim f(x)-f(xo) x→xo x-xo 经济数学 微积分 o
. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − = → 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , ( ) x x0 x x0 dx df x dx dy = 或 = 即
关于导数的说明： ★点导数是因变量在点x,处的变化率，它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度 ★对于点x,如果当△x→0时比值 20, Ax 此时函数y=f(x)在x,处是不可导的，但是为了方 便，也往往说函数y=f(x)在x点处的导数为无穷 大，并记作f'(x)=0. ★如果函数y=f(x)在开区间I内的每点 处都可导，就称函数f(x)在开区间I内可导， 经济数学—一微积分
. , 0 慢程度 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点x 处的变化率 它 , ( ) . ( ) 处都可导 就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I y = f x I ★ ★ 关于导数的说明： ★ 对于点 0 x ，如果当x → 0时比值 → x y ， 此时函数y = f (x)在 0 x 处是不可导的，但是为了方 便，也往往说函数y = f (x)在 0 x 点处的导数为无穷 大，并记作 f (x0 ) = ．
★对于任一x∈I,都对应着f(x)的一个确定 的导数值f'(x).这个f'(x)叫做函数f(x)的 导函数记作y,f'(x, 或fx x dx 即y'=lim (x+Ar)-fe) △K 或f'(x)=lim f(x+)-f(x) h0 h 在上式中虽然x可以取区间I内的任何数值， 但在取极限的过程中，x是常量，△x是变量. 注意：1.f'(x)=f'(x)x 经济数学—一微积分
. ( ) . , ( ), ( ). ( ) ( ) , ( ) dx df x dx dy y f x f x f x f x x I f x 导函数 记 作 或 的导数值 这 个 叫做函数 的 对于任一 都对应着 的一个确定 x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim 0 即 . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h + − = → 或 注意: 1. ( ) ( ) . 0 0 x x f x f x = = ★ 在上式中虽然 x 可以取区间 I 内的任何数值 , 但在取极限的过程中, x 是常量 , ∆ x 是变量
2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率 的极限函数. 播放 经济数学一微积分
播放 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率 的极限函数