嘉兴学院 课件 广义积分函数_高等数学第六章（5）

第六节广义积分下-函数 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、Γ一函数 经济数学一微积分

一、无穷限的广义积分 第六节 广义积分  - 函数 三、  -函数 二、无界函数的广义积分

常义积分 0 h (2) 义积分 (3) (4 经济数学—微积分

o x y a b ⑴ o x y a b ⑵ o x y a b ⑶ o x y a ⑷ 常义积分广义积分

定义1 设函数f(x)在[a,+oo】上连续，极限 lim 'f(x)dx 存在，就称此极限为在区间[，+o]上的广义积分。记作 ∫f(x)d=lim∫af(x)d +00 此时也称广义积分收敛，若上述极限不存在，则称广义 发散。 经济数学——微积分

设函数 f(x)在[ a ,  ] 上连续,极限    b a b lim f ( x )dx 存在，就称此极限为在区间[a, ] 上的广义积分。记作       a b a b f ( x )dx lim f ( x )dx 此时也称广义积分收敛，若上述极限不存在，则称广义 发散。 定义1

定义2 设函数f(x)在(-∞，b]上连续极限 lim 'f(x)dx 存在，称此极限为在区间(-0，b]上的广义积分 记作 。f(x)dk=limf(x)dc 此时也称广义积分收敛，若上述极限不存在，则称 广义积分发散。 经济数学——微积分

设函数 f (x)在(  , b ]上连续极限    b a a lim f ( x )dx 存在，称此极限为在区间(  , b ]上的广义积分, 记作       b b a a f ( x )dx lim f ( x )dx 此时也称广义积分收敛，若上述极限不存在,则称 广义积分发散。 定义2

定义3 设函数f()在(-o0,十0)上连续，如果 ∫”。f(x)d与0f(x) 都存在，则称广义积分∫。f(x)c收敛，且定义 f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx 否则称为发散 经济数学—微积分

设函数 f (x)在( , )上连续，如果    0 f ( x ) dx 与   0 f ( x ) dx 都存在，则称广义积分     f ( x ) dx 收敛，且定义         0 0 f(x)dx f(x)dx f(x)dx 否则称为发散. 定义3

例1计算∫，wte-‘ 解∫wte-‘d=lim。te-‘dt b→+00 =m{-e]哈+6e‘t} =im（-be-6-eb+1) =1. 若广义积分收敛可以直接用“=” 经济数学—一微积分

例１ 计算 te dt t    0 解 te dx te dt b t b t         0 0 lim lim {[ ] } 0 0 te e dt t b b t b          lim (    1)     b b b be e  1 . 若广义积分收敛可以直接用“=

例2计算°sinxdx. 解 ∵"sin xdx=cosa Iim心sin xdx=lim cosa不存在 → 1→00 ∴.∫。sin xdx发散. 经济数学一微积分

2 sin . 0  例 计算 xdx 解   0 sin cos a  xdx a   不存在   0 lim sin lim cos a a a xdx a  0 sin xdx 发散

例3计算」sin xdx. 解limi心dc=lim(cosa-cos(-a刃=0 a-→+00 1→+00 ..sin xdx=0. :”sin xdx发散 .sin xd发散. 广义积分发散就严格按照定义. 经济数学—微积分

3 sin .    例 计算 xdx 解 sin  0.    xdx lim  sin  limcos  cos   0    xdx a a a a a a   0  sin xdx 发散    sin xdx 发散. 广义积分发散就严格按照定义

例4计算 124 解1+1 =+ lim (-arctan a)+lim arctan b * 1元 =π. 2 经济数学—一微积分

例4 计算 解 dx x dx x dx x                 0 2 0 2 2 1 1 1 1 1 1           b b a a x dx x dx 0 2 0 2 1 lim 1 lim a b a b lim ( arctan ) lim arctan        . 2 ) 2 (         . 1 1 2 dx x    

5计钟血 =m+m 2imht+a+ln+b) 1 经济数学 微积分

. 1 5 2     dx x x 例 计算     . lim ln 1 2 1 lim ln 1 2 1 1 lim 1 lim 1 1 1 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2                                 a b dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x a b b b a a 解