第 章 第四节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 等HIGH EDUCATION PRESS 0C0-8 上页下丙返回结束
第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大
一、无穷小 定义1.若x→x时，函数f(x)→0，则称函数f(x) (或x→∞) 为x→x0时的无穷小 (或x→0) 例如： 1im(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小 x-1 1im=0,函数1当x→o时为无穷小 x-→0X lim 1=0,函数 x→-0/1-X 当x→-∞时为无穷小 》HIGH EDUCATION PRESS be000⑧
当 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 (或x → ) 为 时的无穷小 . 时为无穷小. (或x → ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1.若x→x,或x→0)时，函数f(x)→0，则 则称函数f(x)为x→x,(或x→0)时的无穷小 说明：除0以外任何很小的常数都不是无穷小！ 因为 1mC=0=V6>0,38>0, x→x0 当0<x-x<δ时 C-0<8 显然C只能是0 考HIGH EDUCATION PRESS 周8'o8
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C (或 x → ) 时 , 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x → ) 则 时的无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.（无穷小与函数极限的关系） lmf(x)=A三f(x)=A+a,其中a为x→x。 x→x0 时的无穷小量 证：lmf(x)=A x→X0 二V8>0,38>0,当0<x-x0<6时有 f(x)-A<8 a=f(x)-A lim a=0 x→x0 对自变量的其它变化过程类似可证 等HIGH EDUCATION PRESS 动目录上丙下返回结束
其中 为 0 x → x 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A+ , 证: f x A x x = → lim ( ) 0 0, 0, 当 0 x − x0 时,有 f (x) − A = f (x) − A lim 0 0 = → x x 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在6>0正数X),使对 一切满足不等式0)的x,总有 f(x)>M ① 则称函数f(x)当x→x,(x→∞)时为无穷大，记作 lim f(x)=co. (lim f(x)=o x→xn 若在定义中将①式改为f(x)>M(f(x)<-M), 则记作limf(x)=+o(limf(x)=-oo) x→x0 x-→x0 (x-→0)】 (x→0）】 等HIGH EDUCATION PRESS 周e000⑧
二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 = − → → f x x x x ( x X ) ( x → ) (lim ( ) = ) → f x x (正数 X ) , 记作 ( f (x) −M ), 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意： 1.无穷大不是很大的数，它是描述函数的一种状态 2.函数为无穷大，必定无界.但反之不真1 例如，函数f(x)=xc0sx,x∈(-o,+o) f(21nr)=2nπ-→o(当n-→o) 但f(号+nπ)=0 所以x→0时，f(x)不是无穷大I 等HIGH EDUCATION PRESS
注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.证明 lim-* =00 x→1x-1 证：任给正数M,要使 只要取6=M则对满足0M x- 所以1im =00 x→1x-1 说明：若1imf(x)=o,则直线x=x0 x→x0 为曲线y=f(x)的铅直渐近线 新近线 等HIGH EDUCATION PRESS @90D08 机动目录上页下页返回结束
例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 , 1 M = 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 0 x =x 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、无穷小与无穷大的关系 定理2.在自变量的同一变化过程中 若f(x)为无穷大，则1、为无穷小： f(x) 若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则 f(x) 为无穷大 (自证) 说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论 》HIGH EDUCATION PRESS be0008
三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f (x) 0, 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小与函数极限的关系hl 3.无穷小与无穷大的关系2 思考与练习 P41题1,3 P41题3提示 =1+22-2,0<102 作业 P412(1),2);7 等HIGH EDUCATION PRESS R日”08
内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2 思考与练习 P41 题1 , 3 P41 题3 提示: 作业 P41 2 (1) , (2) ; 7 第五节 目录 上页 下页 返回 结束