第六节无穷小的比较 经济数学—一微积分
第六节 无穷小的比较
无穷小的比较 例如，当x→0时，七，x2,sinx都是无穷小 3x=0, lim x比3x要快得多； 察各极 lim sinx =1, sinx与x大致相同； x→0X sinx sinx 1 lim lim 型) x→0 x→0 sinx比x2要慢. 极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 经济数学 一微积分
一、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 0 sin lim x x x→ 0 , , ,sin . 当x → 时 x x 2 x 都是无穷小 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; = 0, = 1, = = → ) sin 1 lim( 0 x x x x 观 察 各 极 限 （ 型） 0 0 sin . x比 x 2 要慢
定义：设@，B是同一过程中的两个穷小，且≠0， (①如果imP-,就说B是比a高阶的无穷小 记作B=o(@): 2②)如果imE=0,就说B是比a低阶的无穷小 (3如果1imB=C+0,就说B与a是同阶的无穷小 Q B 特殊地，如果IimP=1,则称B与o是等价的无穷小 记作a~: 经济数学 微积分
记作 ； 如果 ，就说 是比 高阶的无穷小 ( ) (1) lim 0 , = = o 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. (3) 如果 lim = 0,就说 与 是同阶的无穷小; C ~ ; lim 1, ; = 记作 特殊地，如果 则称 与 是等价的无穷小 ２ 如果 = ，就说 是比 低阶的无穷小． ( ) lim
(4)如果im =C≠0，k>0,就说B是α的k阶的 无穷小 例如， x2 lim =0, x03x 即x2=o(3x)(x→0). .当x→0时，x2是比3x高阶的无穷小； sinx lim =1, 即sinx~x(x→0) x→0X 当x→0时，sinx与x是等价无穷小. 经济数学—一微积分
. (4) lim 0, 0, 无穷小 如果 k = C k 就说 是 的 k 阶的 0， 3 lim 2 0 = → x x x 1， sin lim 0 = → x x x 0 3 ; 当 x → 时，x 2 是比 x 高阶的无穷小 (3 ) ( 0). 即 x 2 = o x x → 当 x → 0时，sin x 与 x 是等价无穷小． 即sin x ~ x (x → 0). 例如
例1证明：当r→0时，tanx-sinx为x的三阶无穷小 解 tanx-sinx .lim x→0 lim( sint 1-cosx) x→0`C0Sxx 1 sinx 1-cosx 1 =lim-·lim .lim ∴.tanx-sinx为x的三阶无穷小， 经济数学一微积分
例 1 证明:当x → 0时,tan x − sin x为x的三阶无穷小. 解 3 0 tan sin lim xx x x − → ) sin 1 cos cos1 lim( 2 0 x x x x x x − = → , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小.2 0 0 0 1 cos lim sin lim cos1 lim x x x x x x x x − = → → →
定理1B与α，是等价无穷小的的充分必要条件 为B=o+o()称o是B的主要部分. 证必要性设o~B, limB-@=limB-1=0, ∴.B-a=0(o),即B=+o(). 充分性设B=+o(@), lim B=lim()=lim(1=1 .~B. 经济数学一微积分
为 称 是 的主要部分． 定 理 与 是等价无穷小的的充分必要条件 = + ( ). 1 o 证 必要性 设 ~ ， lim lim − 1 = − = 0， − = o()，即 = + o()． 充分性 设 = + o()． + = ( ) lim lim o （１＋ ） = ( ) lim o = 1， ~ ．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式。 例如，当x→0时，sinx~x, 1-cosx~ 2 sinx=x+(x), 12 y=x 1 I-cs-). y=1 常用等价无穷小：当x→0时， x~sinx tanx arcsinx arctanx~In(1+x) x~e'-1,1-c0sx~ ,1+x-1~a≠0) 2 经济数学一微积分
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, sin x = x + o(x), ( ). 2 1 1 cos 2 2 − x = x + o x 当x → 0时, y = 1 − cos x 2 2 1 y = x 常用等价无穷小: 当x → 0时, , (1 ) 1 ~ ( 0) 2 1 ~ 1, 1 cos ~ ~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ~ ln(1 ) 2 − − + − + x e x x x ax a x x x x x x x a . 2 1 sin ~ , 1 cos ~ 2 x x − x x
二、等价无穷小代换 定理2（等价无穷小代换定理） 设&~a,B~B且IimB存在，则inmB=limB lim B= 证 Q B'' B B lim B·i a' …lim lim 经济数学一微积分
二、等价无穷小代换 定理２(等价无穷小代换定理) ~ , ~ lim , lim lim . = 设 且 存 在 则 证 lim lim( ) = = lim lim lim lim . =
例3求Iim tan'2x 01-cosx 解 当x→0时，1-c0sx~ Ix',tan2x-2x. 原式=im 2x=8. x01 2 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限。 经济数学一微积分
例３ . 1 cos tan 2 lim 2 0 x x x − 求 → 解 , tan2 ~ 2 . 2 1 0 , 1 cos ~ 2 当x → 时 − x x x x 2 2 0 2 1 (2 ) lim x x x→ 原式 = = 8. 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限．
例4 求im (x+1)sinx x→0 arcsinx 解 当x→0时，sinx~x,arcsinx~x. 原式=lim x+1)x=lim(x+1)=1. x→0x x→0 注意不能滥用等价无穷小代换 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换 经济数学—一微积分
不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意 例４ . arcsin ( 1)sin lim 0 x x x x + → 求 解 当x → 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x. x x x x ( 1) lim 0 + = → 原式 lim( 1) = 1. 0 = + → x x