第一章 第五节 极限运算法则 一、 无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 毫HIGH EDUCATION PRESS
第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则
一、无穷小运算法则 定理1.有限个无穷小的和还是无穷小 证：考虑两个无穷小的和.设1ima=0,1imB=0, x→x0 x→x0 e>0,381>0,当00,当0<x-x<62时，有B<号 取8=min{δ，δ2}，则当0<x-x0<δ时，有 a+B≤a+B<号+号=6 因此 lim(a+β)=0. x→x0 这说明当x→x。时，au+B为无穷小量 等HIGH EDUCATION PRESS
= min 1 , 2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0 x − x0 + + 2 2 + = 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小 说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小」 例如， lim n n+πn2+2π n+nπ (P56,题4(2)) 解答见课件第二节例5 等HIGH EDUCATION PRESS 周R00o⑧
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， + + + + + → n + n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 lim =1 ( P56 , 题 4 (2) ) 解答见课件第二节 例5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证：设Vx∈U(xo,d),u≤M 又设lima=0,即Ve>0,382>0,当x∈U(x,δ2) x→x0 时，有as是 取8=min{8,d2},则当x∈U(x,6)时，就有 ua=ua≤M:&=& 故1imua=0,即ua是x→xo时的无穷小 x→x0 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小 等HIGH EDUCATION PRESS 周f9008
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u M 又设 lim 0, 0 = → x x 即 0, 当 时, 有 M 取 min , , = 1 2 则当 ( , ) x x0 时 , 就有 u = u = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求lim sinx x→0X 解：sinx≤1 lim =0 X→0X sinx =0. 利用定理2可知1im x→00X sinx 说明：y=0是y= 的渐近线. 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 x x y sin = 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、极限的四则运算法则 定理3.若Iimf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 证：因limf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x)=A+a,g(x)=B+B (其中，B为无穷小) 于是 f(x)±g(x)=(A+C)±(B+B) =(A±B)+(C士B) 由定理1可知：±阝也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立· 等HIGH EDUCATION PRESS 周R00o⑧
二、 极限的四则运算法则 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B + (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) = (A+ ) (B + ) = (A B) + ( ) 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束
推论：若limf(x)=A,limg(x)=B,且f(x)≥g(x), 则A≥B.(P45定理5) 提示：令p(x)=f(x)-g(x) 利用保号性定理证明 说明：定理3可推广到有限个函数相加、减的情形 等HIGH EDUCATION PRESS
推论: 若 lim f (x) = A, limg(x) = B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 ) (x) = f (x) − g(x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理4.若1imf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)g(x)]=lim f(x)limg(x)=4B 提示：利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明 说明：定理4可推广到有限个函数相乘的情形 推论1.lim[Cf(x)l=Clim f(x) (C为常数) 推论2.lim[f(x)]”=[limf(x)]”(n为正整数) 例2.设n次多项式Pn(x)=a0+ax+…+anx”,试证 lim P(x)=P(o). x-→x0 证：limn(x)=a0+a1limx+…+a,limx” X→x0 x→x0 X→Xo Pn(xo) 考HIGH EDUCATION PRESS 0④0D08 机动目录上页下页返回结束
定理 4 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x = → 证: = → lim ( ) 0 P x n x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理5.若1imf(x)=A,limg(x)=B,且B判，则有 lim()=limf(x)d g(x)limg(x)B 证：因1imf(x)=A,limg(x)=B,有 f(x)=A+a&,8(x)=B+B,其中a,B为无穷小 设 =田4=A+a4 (Ba-AB) g(x)BB+BBB(B+B) 无穷小 有界 因此Y为无穷小， f(x)A +y 8(x)B 由极限与无穷小关系定理，得1im(~_4_1im/) g(x)B limg(x) 等HIGH EDUCATION PRESS 周R000⑧
为无穷小 (详见P44) B 2 B + 1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x x 定理 5 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+ , g(x) = B + , 其中 , 设 B A B A − + + = ( ) 1 + = B B (B − A) 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 = + B A g x f x ( ) ( ) 为无穷小, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理6.若limx=A,limy=B,则有 n->o0 n→o0 ()Iim(xn±yn)=A±B n->oo (2)lim xnyn=AB n-→o0 (3)当y,≠0且B≠0时，1imn=A m-→oynB 提示：因为数列是一种特殊的函数，故此定理可由 定理3,4,5直接得出结论 等HIGH EDUCATION PRESS
定理6 . 若 lim x A, lim y B , n n n n = = → → 则有 (1) lim( ) n n n x y → n n n x y → (2) lim (3) 当y 0且B 0时, n B A y x n n n = → lim = A B = AB 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束