第之节 第一章 极限存在准则及 两个重要极限 一、 函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限 等HIGH EDUCATION PRESS 周e00o8
二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第一章
一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1.函数极限与数列极限的关系 定理1. lmf(x)=A二V{xn}:xn≠xo,f(xn)有定义， x→x0 xn→xo(n→∞)，有limf(xn)=A Xn→0 n->o0 为确定起见，仅讨论x→x,的情形 等HIGH EDUCATION PRESS
一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 : n x , 0 x x n 有定义, ( ), xn → x0 n → f xn A n = → lim ( ) 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 0 x → x 有 ( ) n f x x → xn → 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.limf(x)=A,二V{xn}:xn≠xo,f(xn x→x0 有定义，且xn→x(n→oo),有limf(xn)=A n-→o0 证：“=”设1imf(x)=A,即ε>0,3δ>0，当 x→x0 0N时，有0N时f(xm)-A00 ◆一”可用反证法证明.（略） 等HIGH EDUCATION PRESS 090C0-8 机动目录上页下页返回结束
定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x x f x 有定义, 且 设 lim ( ) , 0 f x A x x = → 即 0, 0, 当 有 f (x) − A . : n x , ( ) n 0 n x x f x 有定义 , 且 对上述 , 时, 有 于是当 n N 时 f (x ) − A . n 故 f xn A n = → lim ( ) 可用反证法证明. (略) lim f (x ) A. n n = → 有 证： 当 x y A N, “ ” “ ” 0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.limf(x)=A三V{xn}:xn≠x,f(xn)有定义 x→xo (x→0) 且xm→xo(n-→o),有1imf(xn)=A. (Xn→>∞) n->0 说明：此定理常用于判断函数极限不存在· 法1找一个数列{xn}:xm≠x0,且xm→x0(n→o), 使limf(xn)不存在 1→00 法2找两个趋于xo的不同数列{xn}及{xn},使 limf(xn)≠limf(xn) 7n->00 n-→o 等HIGH EDUCATION PRESS 周R0009
定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x x f x 有定义 且 lim f (x ) A. n n = → 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 , 0 x x n lim ( ) 不存在 . n n f x → 使 法2 找两个趋于 的不同数列 xn 及 , n x 使 lim ( ) n n f x → lim ( ) n n f x → (x → ) ( → ) n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明limsin-不存在 x→0X 证：取两个趋于0的数列 Xn=。 及xn= (n=1,2, 2nπ nn+ 1 有 lim sin=lim sin2nπ=0 n→oXnn-0 lim sin,=lim sin(2n+)=1 n→0Xnn-→0 由定理1知limsin二不存在 x→0X 等HIGH EDUCATION PRESS
例1. 证明 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 n xn 2 1 = 及 2 2 1 + = n xn 有 n n x 1 lim sin → n n→ x 1 lim sin 由定理 1 知 不存在 . (n =1, 2, ) = lim sin 2 = 0 → n n lim sin(2 ) 1 2 = + = → n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.函数极限存在的夹逼准则 定理2. 当x∈U(xo,δ)时，g(x)≤f(x)hx),且 (x>X>0) lim g(x)=lim h(x)=4 x→X0 x→x0 (x-→00】 (x→∞) lim f(x)=A x→x0 (x→00 (利用定理1及数列的夹逼准则可证) 等HIGH EDUCATION PRESS 0C08 机动目录上页下页返回结束
2. 函数极限存在的夹逼准则 定理2. ( , ) , 当x x0 时 g x h x A x x x x = = → → lim ( ) lim ( ) 0 0 g(x) f (x) h(x) , f x A x x = → lim ( ) 0 ( x X 0) (x → ) (x → ) (x → ) 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、两个重要极限 sinx 1.lim=1 x->0 x 证：当x∈(0，)时， △AOB的面积0 x→0X 等HIGH EDUCATION PRESS 0e000w
1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 x x x x (0, ) 2 x 时， (0 ) 2 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求lim tanx x→0 tan x 解：lim sinx 1 lim x→0X x-→0八 x COSX inx =lim .lim- x->0x x→0C0SX 例3.求1im arcsin x x→0 解：令t=arcsinx,则x=sint,因此 t 1 原式=lim =lim- =1 t→0S1nt 10 sint t 等HIGH EDUCATION PRESS
例2. 求 解: x x x tan lim →0 = → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim →0 = x cos x 1 lim →0 =1 例3. 求 解: 令 t = arcsin x, 则 x = sint , 因此 原式 t t t sin lim →0 = t sin t =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1-cosx 例4.求lim -0x2 2sin2 1 解：原式=lim =lim sin多 .2 x-→0x1 2x0 例5.已知圆内接正n边形面积为 An=nR2 sincos牙 n 证明：lim 4,=πR2. D 1n→00 证： im4,=lim元R2s1nA z”cosg=πR2 n→>0 n→00 n n 说明：计算中注意利用 sin(x) 1im (x)→00(x) 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
n n n R cos sin lim 2 → = R n 例4. 求 解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x→ 2 1 2 1 = 例5. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: n n A → lim n n n n A nR sin cos 2 = 说明: 计算中注意利用 2 0 sin lim = x→ 2 x 2 x 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.1im(1+)'=e 证：当x>0时，设n≤x<n+l,则 1+m+”<0+)<1+)1 (1+1)+1 lim+本)”=lim n+1) -=e n→o∞ 1+ 1im1+)+1=lim[0+）”1+]=e n-→o0 n-→o0 lim (1+1)*=e X→+0 等HIGH EDUCATION PRESS 周e0008
2. 证: 当 x 0 时, 设 n x n +1, 则 x x (1 ) 1 + 1 1 (1 ) + + n n + + n n (1 ) 1 1 n n n lim (1 ) 1 1 + → + lim → = n 1 1 1 (1 ) + + + n n 1 1 1 + + n = e 1 1 lim (1 ) + → + n n n lim[(1 ) 1 ] 1 n n（ 1 n ） n = + + → = e e x x x + = →+ lim (1 ) 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束