第一节 数列的极限 、引例 1.割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 -0.5 0.5 割，则与圆周合 -0.5 体而无所失矣” 刘徽 播放 经济数学一微积分
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 1. 割圆术： ——刘徽 播放 一、引例 第一节 数列的极限
正六边形的面积A 正十二边形的面积A, 0。。0。 正6×2”-1形的面积An A1,A2,A3,…,An,…→S 经济数学—一微积分
R 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 正 6 2 n−1 形的面积 An A1 , A2 , A3 , , An , S
2.截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 第一天截下的杖长为X,=2 1 第二天截下的杖长总和为X2= 11 222 十 第n天截下的杖长总和为Xm= 11 222十…40 Xn=1- >1 经济数学一微积分
2. 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ; 2 1 第一天截下的杖长为 X1 = ; 2 1 2 1 2 2 第二天截下的杖长总和为 X = + ; 2 1 2 1 2 1 Xn 2 n 第n天截下的杖长总和为 = + ++ Xn n 2 1 = 1 − 1
二、数列的有关概念 (sequence) 1.定义：以正整数集N+为定义域的函数f(m)按 (I),f(2),…,f(n),排列的一列数称为数列 通常用x1,X2,…,xn,…表示，其中xn=f(n), xn称为通项 例如 2,4,8,…,2", {2"} 1111 2'4'8’20… 经济数学一微积分
二、数列的有关概念 1．定 义:以正整数集 + N 为定义域的函数 f (n)按 f (1) , f (2) ,, f (n) ,排列的一列数称为数列， 通常用x1 , x2 ,, xn ,表示，其中 x f (n) n = ， xn称为通项 例如 2,4,8, ,2 , ; n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1 n {2 } n } 2 1 { n (sequence)
1,-1,1,,(-1)+1, {-10-} 2,1,4n+1-1 2’3 n n V3,V3+V3,,V3+V3+W.+3, 注意：1数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取X1,x2,…,Xn,… X3x1 X2 X4 xn 2数列是整标函数xn=f(n), 经济数学—一微积分
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 , , , , . x1 x2 xn 1 x 2 x 3 x 4 x n x 2.数列是整标函数 x f (n). n = 1, 1,1, ,( 1) , ; − − n+1 {( 1) } −1 − n , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1 n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + − 3, 3 + 3, , 3 + 3 + + 3 ,
2.有界性 定义：对数列xm,若存在正数M,使得一切自 然数n,恒有xn≤M成立，则称数列n有界， 否则，称为无界」 例如，数列x,=,有界；数列飞，=2”无界 n+1 数轴上对应于有界数列的点xm都落在闭区间 -M,M]上. 经济数学一微积分
2. 有界性 定义: 对数列xn , 若存在正数M , 使得一切自 然数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列xn 有界, 否则, 称为无界. 例如, + 1 = n n 数列 xn n 数列 xn = 2 数轴上对应于有界数列的点 n x 都落在闭区间 [−M, M]上. 有界； 无界
若存在实数A,对一切n都满足xn≥A, 称{xn}为下有界，A是{xn}的下界； 同样，若存在B,对一切n都满足xn≤B, 称{xn}为上有界，A是{xn}的上界. 经济数学一微积分
若存在实数 A，对一切n 都满足 xn A， 称{ }为下有界 , xn A是{xn }的下界； 同样, 若存在 B，对一切 n 都满足 xn B， 称{ }为上有界 , xn A是{xn }的上界．
3.单调性 数列{xn}若满足x≤七2≤…≤xm,称数列{xn} 为单调增数列；若满足x,≥x2≥…≥xn, 则称数列{x,}为单调减数列. 单调增数列和单调减数列统称为单调数 列. 经济数学一微积分
3. 单调性 { } , n 1 2 n 数列 x 若满足 x x x { } 称数列 xn 为单调增数列； , 1 2 n 若满足 x x x 则称数列{xn }为 单调减数列． 单调增数列和单调减数列统称为单调数 列．
4.子数列(subsequence) 定义：将数列{x}在保持原有顺序情况下，任 取其中无穷多项构成的新数列称为{x,}的子数 列，简称子列. 例如，X1,x2,…,X,…Xn,… 注意：在子数列比m中，一般项xm是第k项， 而xm在原数列{xn}中却是第xk项，显然，k≥k. 经济数学一微积分
4. 子数列 (subsequence) 列，简称子列． 取其中无穷多项构成的新数列称为 的子数 定义：将数列 在保持原有顺序情况下， 任 n n x x x1 , x2 , , xi , xn , xn1 , xn2 , , xnk , x x x n k. x x k n n k k n n k k k 而 在原数列 中却是第 项，显然， 注意： 在子数列 中，一般项 是第 项， 例如
三、数列极限的定义(Limit of a sequence) 观察数列1+)}当n→0时的变化趋势， 1.75 1.5 1.25 0.75 0.25 10 12 播放 经济数学一微积分
} . ( 1) {1 1 观察数列 当 → 时的变化趋势 − + − n n n 播放 三、数列极限的定义(Limit of a sequence)