第三节微积分基本公式 一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿-莱布尼兹公式 四、小结思考题 经济数学 微积分 ⊙
一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿-莱布尼兹公式 四、小结 思考题 第三节 微积分基本公式
一、 问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度y=v(t)是时 间间隔[T,T]上t的一个连续函数，且 v(t)≥0，求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为() 另一方面这段路程可表示为s(T)-5(T) ∴()t=s(T,)-s(T).其中s')=v(). 经济数学一 微积分
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 2 1 ( ) T T v t dt 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时 间间隔[ , ] T1 T2 上 t的一个连续函数，且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程. 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s 一、问题的提出 ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T = − 其中 s(t) = v(t)
二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间a,b]上连续，并且设 x为[a,b]上的一点，考察定积分 r(d=fod 如果上限x在区间[，b]上任意变动，则对于 每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它 在[，b上定义了一个函数，记为 ()=f)d此，称为积分上限函数。 经济数学一微积分
设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，并且设 x为[a,b]上的一点， x a f (x)dx 考察定积分 = x a f (t)dt ( ) ( ) , = x a x f t dt 称为积分上限函数。 如果上限x在区间 [a,b]上任意变动，则对于 每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它 在[a,b]上定义了一个函数，记为 二、积分上限函数及其导数
积分上限函数的性质 定理1如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数(x)=∫f(t)t在a,b1上具有导数，且它的导数 是)=&fh=f) (a≤x≤b) y 证Φ(x+Ax)=+f0)h △Φ=Φ(x+△x)-Φ() =∫f0)t-fh xx+△xbX 经济数学 微积分
a b x y o 定理１ 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导数 是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = (a x b) 积分上限函数的性质 x + x 证 x x f t dt x x a + ( + ) = ( ) = (x + x) − (x) f t dt f t dt x a x x a = − + ( ) ( ) (x) x
-f(od+f(td-f(od =∫af0a, 由积分中值定理得 D(x) xx+△xbx △Φ=f(传)△x5介于x与x+△x之间 △o=f传， △ △x 2=1imf(传) △x-→0△X△r-0 △x→0,5→x∴.'(x)=f(x). 经济数学—一微积分 )O
f t dt f t dt f t dt x a x x x x = a + − + ( ) ( ) ( ) ( ) , + = x x x f t dt 由积分中值定理得 = f ( )x 介于x与x + x之间 x → 0, → x f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = (x) = f (x). a b x y o x + x (x) x
补充如果f(t)连续，(x)、b(x)可导， 则 太产oh=asei &,fow=-fta(wle好 4a/ah-0sb-fauhe 经济数学一微积分
如 果 f (t)连续，a(x)、b(x)可导， 则 补充 ( ) ( ( )) ( ); ( ) f t dt f b x b x dx d b x = ( ) f (t)dt f (a(x))a (x); dx d a x = − ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ). ( ) f t dt f b x b x f a x a x dx d b x a x = −
证 F(x)=f(t)dt =(（e+)f0)d -f(yd-f(tydt, ..F(x)=fb(x)(x)-f(a(x))a'(x) 经济数学一微积分
证 = ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x F x f t dt f t dt b x = ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t dt a x − F(x) = f (b(x))b(x)− f (a(x))a(x) ( )f t dt a x b x ( ) 0 ( ) ( ) = + 0
"e"dt 1 例1 求im Jcosx x→0 分析：这是。型不定式，应用洛必达法侧则， 解 bhcw-ic =-ecox.(cosx)=sinx.eax lim sinxecos2x lim x→0 x→0 2x 20 经济数学—一微积分
例1 求 lim . 2 1 cos 0 2 x e dt x t x − → 解 − 1 cos 2 x t e dt dx d , cos 1 2 − = − x t e dt dx d (cos ) 2 cos = − − e x x sin , 2 cos x x e − = 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x − → x x e x x 2 sin lim 2 cos 0 − → = . 2 1 e = 0 0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则
例2设f(x)在(-oo,+o)内连续，且f(x)>0. 证明函数F(x)= a 在(0，+o)内为单调增 rod 加函数. 证 &a=e&foa=fxh r)-d (roa) 经济数学一微积分
例 2 设 f (x)在(−,+)内连续，且 f ( x) 0. 证明函数 = x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0,+)内为单调增 加函数. 证 x tf t dt dx d 0 ( ) = xf (x), x f t dt dx d 0 ( ) = f (x), ( ) 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x
F(x)= f(x)(x-t)f(t)dt rd) :f(x)>0,(x>0)ft)t>0, (x-t)f>0,.(x-)f()dt>0, .F'(x)>0(x>0). 故F(x)在(0，+o)内为单调增加函数. 经济数学一微积分
( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 − = x x f t dt f x x t f t dt F x f (x) 0, (x 0) ( ) 0, 0 x f t dt (x − t) f (t) 0, ( ) ( ) 0, 0 − x x t f t dt F(x) 0 (x 0). 故F(x)在(0,+)内为单调增加函数