第三节 导数的应用 一、函数的单调性 二、函数的极值 三、曲线的凹凸性与拐点 四、函数图形的描绘 五、小结 思考题 经济数学一微积分
一、函数的单调性 二、函数的极值 四、函数图形的描绘 第三节 导数的应用 三、曲线的凹凸性与拐点 五、小结 思考题
、 函数的单调性(monotonicity) 1.单调性的判别法 A .B y=f(x) y=f(x) o a o a f'(x)≥0 f'(x)≤0 定理设函数y=f(x)在[a,b1上连续，在(a,b)内可导. (①)如果在(a,b)内f'(x)>0,那末函数y=f(x)在 [a,b]上单调增加； (2)如果在(a,b)内f'(x)<0,那末函数y=f(x)在 [a,b上单调减少 经济数学—一微积分
一、函数的单调性(monotonicity) x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 定理 [ , ] . (2) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) . 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； （ ）如果在 内 ，那末函数 在 设函数 在 上连续，在 内可导 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = a b B A 1．单调性的判别法
证x1,x2∈(@，b),且x10, 若在(a,b)内，f'(x)>0,则f'(5)>0, ∴.f(x2)>f().∴y=f(x)在a,b上单调增加. 若在(a,b)内，f'(x)<0,则f'(5)<0, ∴f(x2)<f(x.y=f(x)在，b上单调减少. 经济数学一微积分
证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少
例1讨论函数y=e-x-1的单调性. 解y'=e-1.又：D:(-oo,+o) 在(-0,0)内，y'0, .函数单调增加 注意：函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性. 经济数学一微积分
例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又D:(−,+)
2.单调区间(monotonical interval).求法 问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在一些部分区间上单调. 定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间， 导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点。 方法：用方程f'(x)=0的根及f'(x)不存在的 点来划分函数f(x)的定义区间，然后判断区间 内导数的符号 经济数学—一微积分
2．单调区间(monotonical interval)求法 问题: 如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在一些部分区间上单调． 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点． 方法: . ( ) , ( ) 0 ( ) 内导数的符号 点来划分函数 的定义区间 然后判断区间 用方程 的根及 不存在的 f x f x = f x
例2确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解D:(-oo,+o). f'(x)=6x2-18x+12 =6(x-1)(x-2) /0.511.5 2.5 解方程f'(x)=0得，1=1,2=2. 当-o0,∴.在(-o,1上单调增加； 当10,.在2，+o)上单调增加： 单调区间为(-∞，1，[1,2，[2，+o), 经济数学—一微积分
例2 解 ( ) 2 9 12 3 . 确定函数f x = x 3 − x 2 + x − 的单调区间 D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时， f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时， f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)
例3 确定函数f(x)=x2的单调区间. 解D:(-o0,+o), f"x)=,2 , (x≠0) y=x2 当x=0时，导数不存在 当-00,∴.在0，+o)上单调增加； 单调区间为(-∞，0[0，+o). 经济数学 一微积分
例3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时， 当0 x +时，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (x) 0, 在(−,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x
注意：区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性 例如，y=x3,yx0=0,但在(-oo,+oo)上单调增加. 例4f(x)=x+sinx,x∈（-o,+o) 解 f'(x)=1+c0sx≥0 (等号仅在个别点成立！！！！！) 所以(x)=x+sinx在x∈(o,+oo)单调增加 经济数学—一微积分
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加. 例4 （等号仅在个别点成立！！！！！） f (x) = x + sin x, x(− ,+ ) 解 f (x) = 1 + cos x 0 所以f (x) = x + sin x在x(− ,+ )单调增加
3.利用单调性证明不等式 例4当x>0时，试证x>ln(1+x)成立. 证设)=x-1+h则f=本 :f(x)在[0，+o)上连续，且(0，+o)可导，f'(x)>0, ∴.在0，+oo)上单调增加；f(0)=0, 当x>0时，x-n(1+x)>0,即x>ln(1+x). 思路：构造函数使f(x)>f(a,（f(a≥0) 或f(x)<f(a),（f(a)s0) 经济数学一微积分
例4 证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则 = f (x)在[0,+)上连续,且(0,+)可导，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (0) = 0, 当x 0时， x − ln(1 + x) 0, 即 x ln(1+ x). 3．利用单调性证明不等式 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ), ( ( ) 0) , 0 f x f a f a f x f a f a 或 思路：构造函数，使
二、函数的极值(extremum) 1.i 函数极值的定义 f(x) 0 经济数学一微积分
二、函数的极值( extremum ) o x y a b y = f (x) x1 x2 x3 x4 x5 x6 o x y o x y x0 0 x 1．函数极值的定义