第九节 第十二章 常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)=e2xPm(x)型 二、f(x)=ex[P(x)cos@x +卫n(x)sin@x]型 等HIGH EDUCATION PRESS 动目最上页下页返回结束
常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节 f (x) = e x Pm (x) 型 f x e P x x l x ( ) = [ ( )cos ( )sin ]型 ~ P x x + n 一、 二、 第十二章
二阶常系数线性非齐次微分方程： y”+py+qy=f(x)(p,q为常数) ① 根据解的结构定理，其通解为 y=Y+y* 齐次方程通解非齐次方程特解 求特解的方法一待定系数法 根据.f(x)的特殊形式，给出特解y*的待定形式， 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 音HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧
y + py + qy = f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y = Y + y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)=e2xPm(x)型 )为实数，Pm(x)为m次多项式 设特解为y*=e2xx),其中Q(x)为待定多项式， y*'=e2x[2(x)+'(y] y*”=e2x[2Q(x+22g'x+"(☒] 代入原方程，得 Q'(x)+(22+p)Q'(x)+(2+p2+q)Q(x)=Pm(x) (1)若入不是特征方程的根，即22+p2+q≠0，则取 Q()为m次待定系数多项式Q,m(x),从而得到特解 形式为y*=exxem(x) 考HIGH EDUCATION PRESS
e [Q (x) x + (2 + p )Q(x) ( ) ( )] 2 + + p + q Q x e Pm(x) x = 一、 f (x) = e xPm (x) 型 为实数 , P (x) m 设特解为 y* e Q(x) , x = 其中 Q(x) 为待定多项式 , y* e [ Q(x) Q (x)] x = + * [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 y e Q x Q x Q x x = + + 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 y* e Q (x). m x = 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Q"(x)∈(22+D2'(x)2+p2+92(x)=Pnm(x) (2)若入是特征方程的单根，即 22+p2+q=0,22+p≠0， 则2'(x)为m次多项式，故特解形式为y*=xQnm(x)e2x (3)若)是特征方程的重根，即 22+p2+g=0,22+p=0, 则Q"(x)是m次多项式，故特解形式为y*=x?m(x)e2x 小结对方程①，当入是特征方程的k重根时，可设 特解y*=xQm(x)ex(k=0,1,2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 等HIGH EDUCATION PRESS 黑8”98
(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 2 + p = 0 , 则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 x y x Qm x e * ( ) 2 = 小结 对方程①, y* = x Q (x)e (k = 0,1, 2) x m k 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . Q(x) P (x) ( ) ( ) = m 2 + + p + q Q x 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求方程y”-2y'-3y=3x+1的一个特解 解：本题入=0，而特征方程为r2-2r-3=0, 入=0不是特征方程的根 设所求特解为y*=box+b,代入方程： -3bx-3b1-2b=3x+1 比较系数，得 -3b0=3 -2b0-36=1 于是所求特解为y*=-x+ 3 》HIGH EDUCATION PRESS
例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 3 1 1, b0 = − b1 = 于是所求特解为 = 0 = 0 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求方程y”-5y'+6y=xe2的通解 解：本题2=2，特征方程为，2-5r+6=0,其根为 1=222=3 对应齐次方程的通解为y=C1e2+C2e3x 设非齐次方程特解为y*=x(b,x+b)e2 代入方程得-2b0x-b+2b,=x 比较系数，得 -2b=1 2b-b1=0 2=-】 b= 因此特解为y*=x(-3x-1)e2x 所求通解为y=C1e2+C2e3x-(x2+x)e2x 等HIGH EDUCATION PRESS 周f0098
例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 5 6 0 , 2 r − r + = 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 x y x b x b e 2 0 1 * = ( + ) 比较系数, 得 , 1 2 1 b0 = − b1 = − 因此特解为 * ( 1) . 2 2 1 x y = x − x − e 代入方程得 − b x −b + b = x 2 0 1 2 0 所求通解为 ( ) . 2 2 2 1 x − x + x e = 2, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求解定解问题 y"+3y”+2y'=1 y(0)=y'(0)=y"(O)=0 解：本题2=0，特征方程为3+3r2+2r=0,其根为 1=0,2=-1,5=-2 故对应齐次方程通解为Y=C1+C2ex+C3e2x 设非齐次方程特解为y*=bx,代入方程得2b=1,故 *=x,原方程通解为 y=C]+C2e *+C3e2x+x C1+C2+C3=0 由初始条件得 -C2-2C3=-为 C2+4C3=0 等HIGH EDUCATION PRESS 动目最上页下页返回结束
例3. 求解定解问题 = = = + + = (0) (0) (0) 0 3 2 1 y y y y y y 解: 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 2 1 −C2 − 2C3 = − 故对应齐次方程通解为 Y = C1 x C e − + 2 x C e 2 3 − + 原方程通解为 C1 y = x C e − + 2 x C e 2 3 − + 由初始条件得 = 0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解得 C3=-4 于是所求解为 (-3+2x+4ex-e2x 等HIGH EDUCATION PRESS 周0008
于是所求解为 y e e x x x 2 1 4 1 4 3 2 = − + − + − − 解得 = − = = − 4 1 1 4 3 3 2 1 C C C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、f(x=e2x[B(x)coS@x+-Pn(x)sin@x]型 分析思路： 第一步将f(x)转化为 f(x)=P(x)e(x(x)e( 第二步求出如下两个方程的特解 y"+py'+qy=Pn(x)e(tio)x y"+py'+qy=P(x)e(ati)x 第三步利用叠加原理求出原方程的特解 第四步分析原方程特解的特点 等HIGH EDUCATION PRESS
二、 f x e x Pl x x Pn (x)sin x 型 ~ ( ) = ( )cos + = + +i x f x Pm x e ( ) ( ) ( ) i x Pm x e ( ) ( ) + 第二步 求出如下两个方程的特解 i x m y py qy P x e ( ) ( ) + + + = y + py + qy = 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 i x mP x e ( ) ( ) + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一步利用欧拉公式将f(x)变形 j=e[P) eiox-e-iox —+P(x) 2i 2i 令m=max{n,l},则 f(x)=P(x)e()+(x)e(i) P(x)e(()e) 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 = x f x e ( ) = + i P x P x l n 2 ( ) ~ 2 ( ) i x e (+ ) + − i P x P x l n 2 ( ) ~ 2 ( ) i x e (− ) = + +i x f x Pm x e ( ) ( ) ( ) i x mP x e ( ) ( ) − = + +i x Pm x e ( ) ( ) i x mP x e ( ) ( ) + 令 m = maxn, l ,则 P (x) l 2 i x i x e e − + ( ) ~ P x + n − − i e e i x i x 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束