第十一章 无穷级数 数项级数 无穷级数 幂级数 付氏级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 付氏级数 第十一章
第一节 第十一章 常数项级数的橇念和性质 一、 常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 考HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧
常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第十一章
一、常数项级数的概念 引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正3×2”(n=0,1,2,)边形，设a表示 内接正三角形面积，ak表示边数 增加时增加的面积，则圆内接正 3×2”边形面积为 a0+a1+a2+.+an n→∞时，这个和逼近于圆的面积A 即 A=a0+a1+a2+.+an+ 等HIGH EDUCATION PRESS
一、常数项级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . + 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 机动 目录 上页 下页 返回 结束
引例2.小球从1米高处自由落下，每次跳起的高度减 少一半，问小球是否会在某时刻停止运动？说明道理 由自由落体运动方程s=)g12知1= 2s g 设，表示第k次小球落地的时间，则小球运动的时间为 T=11+2t2+213+ -a**…】 =,2[1+2(2+1]=2.63(s) g 等HIGH EDUCATION PRESS ®90008 机动目录上页下页返回结束
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 由自由落体运动方程 2 g 2 1 s = t 知 g 2 s t = 则小球运动的时间为 1 T = t 2 2 + t 2 3 + t + = g 2 1 + 2 1 2 2 ( 2) 1 + + 1 2 2 = + g ( 2 +1) 2.63 ( s ) 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义：给定一个数列41,42,43，…，4n,…将各项依 00 次相加，简记为∑4n,即 n=1 0 ∑4n=4+h+g+…+4n+ n=1 称上式为无穷级数其中第n项4m叫做级数的一般项， 级数的前n项和 n Sn=∑4k=h+42+++4nm k=1 称为级数的部分和.若1imSn=S存在，则称无穷级数 n→00 收敛，并称S为级数的和，记作 等HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 , 1 n= n u 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
un n=1 若1imSn不存在，则称无穷级数发散 当级数收敛时，称差值 In S-Sn untl +un+2+.. 为级数的余项显然 lim =0 n-→>o 等HIGH EDUCATION PRESS
当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.讨论等比级数（又称几何级数） 0 ag”=a+ag+ag2++ag”+…(a≠0) n=0 (q称为公比)的敛散性 解：1)若q≠1，则部分和 S =a+ag+ag2+...+agm-1=a-ag" 1-q 当g0o 当g>1时，由于1img”=o,从而lim Sn=o, n→00 n-→oo 因此级数发散 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 从而 lim = , → n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2).若9=1，则 当q=1时，Sn=na→o0,因此级数发散； 当q=-1时，级数成为 a-a+a-a+…+(-1)m-1a+ a, n为奇数 因此 Sn= 0 n为偶数 从而1imSn不存在，因此级数发散 n→00 综合1)、2)可知，9<1时，等比级数收敛， q21时，等比级数发散 》HIGH EDUCATION PRESS 周e0008
2). 若 因此级数发散 ; 因此 Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.判别下列级数的敛散性 00 n+1 00 (2) n=1 n n=n(n+1) 解：(1) S=In+In2+.+In+1 2 3 4 3 =2n-ln)++n(n+)-l =ln(n+1)→o(n→o) 技巧： 所以级数(1)发散； 利用 拆项相消”求 和 等HIGH EDUCATION PRESS 周98
例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 Sn = ln = (ln 2 − ln1) + (ln3− ln 2) ++ (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1) → (n → ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求 和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + ++ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,1 2…d (2)Sn= n:(n+1) -》+) =1-1,→1(n→》 n+1 所以级数(2)收敛，其和为1· 技巧： 利用 “拆项相消”求 和 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目最上页下页返回结束
(2) ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 + + + + + = n n Sn = − 2 1 1 1 1 1 + = − n →1 ( n → ） 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . + − 3 1 2 1 + − 4 1 3 1 + + + − 1 1 1 n n 技巧: 利用 “拆项相消” 求 和 机动 目录 上页 下页 返回 结束