第之节 第十一章 常款项级款的审敛法 一、 正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 考HIGH EDUCATION PRESS 周e0008
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章
一、正项级数及其审敛法 若，≥0，则称∑，为正项级数 n=] 00 定理1正项级数∑4n收敛，二 部分和序列Sn (n=1,2,…)有界 证：“>” 若∑4n收敛，则{Sn}收敛，故有界 n=1 一”un≥0，∴部分和数列{Sn}单调递增， 又已知{Sn}有界故{Sn}收敛，从而∑4n也收敛 n=1 等HIGH EDUCATION PRESS
一、正项级数及其审敛法 若 0, un n=1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束
0 00 定理2（比较审敛法） 设 ∑4n,∑n是两个正项级数 n=1n=1 且存在N∈Z+,对一切n>N,有un≤kvn(常数k>0), 则有 dp (1)若强级数∑y,收敛，则弱级数∑n也收敛； n=1 n=1 00 0 (2)若弱级数∑4n发散，则强级数∑yn也发散 n=1 n=1 证：因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，故不妨 设对一切n∈Z+,都有un≤kvn, 令S,和σm分别表示弱级数和强级数的部分和，则有 等HIGH EDUCATION PRESS 090C-08 机动目录上页下页返回结束
都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Sn≤kon %o ()若强级数∑yn收敛，则有=1imn n=l n-→>0 因此对一切n∈Z,有Sn≤ko 由定理1可知，弱级数∑4，也收敛、 n=1 (2)若弱级数∑4n发散则有1imSn=∞， n= n→00 因此1imon=∞，这说明强级数Vn也发散 n->c∞ n=] 等HIGH EDUCATION PRESS 周e000⑧
(1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若弱级数 则有 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 例1.讨论p级数1+ 。+…(常数p>0) 2 的敛散性 解：1)若p≤1，因为对一切n∈Z 而调和级数∑ n=1 n 发散，由比较审敛法可知P级数 发散 等HIGH EDUCATION PRESS
例1. 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数 =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2)若p>1,因为当n-1≤x≤n时1≤1 np ,故 xp f"Idx = n-1 xp p-1L(n-1)p-1 np-i 3p-1 (n+1)P- On= n→o0 kP-I (k+1)P-1 (n+1)p-1 故强级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛 等HIGH EDUCATION PRESS 090008 机动目录上页下页返回结束
p 1, 因为当 , 1 1 p p n x 故 − = n p n p x n n 1 d 1 1 − n n p x x 1 d 1 − − − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数 − − − − = 1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和 n + − = − − = 1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n + + + − + − − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n 1 2) 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束
调和级数与p级数是两个常用的比较级数 若存在NeZ+,对一切n≥N, 00 ()4n≥，则∑4，发散 n n=1 )4,≤p>1,则∑n收敛 n=1 等HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , + N Z 对一切 n N , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.证明级数 n=1Vn(n+1) 发散. 证：因为 (n=1,2,… ~n(n+1) V(n+1)2 n+1 0 而级数 1发散 k=2 根据比较审敛法可知，所给级数发散 等HIGH EDUCATION PRESS
证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 + n n + n 而级数 = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理3.（比较审敛法的极限形式） 设两正项级数 00 ∑4，∑n满足1im红=，则有 n=1n=1 nxooVn (1)当00,存在N∈Z+,当n>N时， Un-1<8 (1≠0) V 等HIGH EDUCATION PRESS ®90008 机动目录上页下页返回结束
定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(l-8)vn≤4m≤(I+8)vn (n>N) 00 (1当0N),由定理2知 若∑yn收敛，则∑4n也收敛 n=1 n=1 (3)当l=时.存在NeZ,当n>N时，>1，即 Un >Vn 00 由定理2可知，若∑n发散，则∑4n也发散， n=】 n=1 等HIGH EDUCATION PRESS 周0008
n n n (l − )v u (l + )v 由定理 2 可知 n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; (n N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v 由定理2可知, 若 n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 n=1 n 若 v 收敛 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束