第四节多元复合函数的 求导法则 一、多元复合函数求导法则 二、小结思考题 经济数学一微积分
一、多元复合函数求导法则 二、小结 思考题 第四节 多元复合函数的 求导法则
、多元复合函数的求导法则 在一元函数微分学中，复合函数的求导法则 起着重要的作用. 现在我们把他推广到多元复合函数的情形 下面按照多元复合函数不同的复合情形， 分三种情况进行讨论. 经济数学一微积分
一、多元复合函数的求导法则 在一元函数微分学中，复合函数的求导法则 起着重要的作用. 现在我们把他推广到多元复合函数的情形. 下面按照多元复合函数不同的复合情形， 分三种情况进行讨论
1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理1如果函数u=(t)及y=w(t)都在点t可 导，函数z=f(u,v)在对应点(W,v)具有连续偏导 数，则复合函数z=f[(t),y(t)川在对应点t可导， 且其导数可用下列公式计算： dz 0z du 03 dv dt Ou dt Oy dt 经济数学一微积分 Oo O
1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理 1 如果函数u = (t)及v = (t)都在点 可 导，函数z = f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导 数，则复合函数z = f [(t), (t)]在对应点 可导， 且其导数可用下列公式计算： t t dt dv v z dt du u z dt dz + =
证明设t获得增量△t, 则△u=(t+△t)-p(t)Av=y(t+△)-(t); 由于函数z=f(u,y)在点(u,v)有连续偏导数 4= aM+Ar+GaM+6A 当△4→0，△y→0时，81→0,62→0 △z_Oz△WOz△v,。△w,。△y 81t △tau△t'ay△t' +82 At 当△t→0时，△u→0，△y→0 △恤 △v.dv △td’ At'di' 经济数学一微积分
证明 则 u = (t + t) − (t),v = (t + t) −(t); 设 t 获得增量 t， 由于函数z = f (u,v)在点(u,v) 有连续偏导数 , 1 2 v u v v z u u z z + + + = 当u → 0，v → 0时， 1 → 0， 2 → 0 t v t u t v v z t u u z t z + + + = 1 2 当t → 0时， u → 0，v → 0 , dt du t u → , dt dv t v →
=lim △z_azdu,azd dt-o△t Ou dt'oydt 上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dz oz du az dy 8z dw dt Ou dt Ov dt Ow dt 以上公式中的导数称为金导数。 经济数学一微积分
lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t + = = → 上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz + + = u v w z t 以上公式中的导数 称为全导数. dt dz
例1设z=uv+sint,而u=e,v=cost, 求全导数 dt 解 dzo du or dv x 十 dt Ou dt Ov dt Ot ve'-usint+cost =e'cost-e'sint+cost =e'(cost-sint)+cost. 经济数学 微积分
例 1 设z = uv + sint，而 t u = e ，v = cos t ， 求全导数 dt dz . 解 t z dt dv v z dt du u z dt dz + + = ve u t t t = − sin + cos e t e t t t t = cos − sin + cos e (cost sin t) cost. t = − +
2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理2如果山=(x,y)及v=w(x,y)都在点 (x,y)具有对x和y的偏导数，且函数z=f(w,v) 在对应点（山，y)具有连续偏导数，则复合函数 z=f[(x,y),W(x,y)川在对应点(x,y)的两个 偏导数存在，且可用下列公式计算 Oz Oz Ou Oz Ov oz Oz ou oz ov ax auax v ox ay ouay ovay 经济数学一微积分
定理 2 如果u = (x, y)及v = ( x, y)都在点 (x, y)具有对x和 y的偏导数，且函数z = f (u,v) 在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f[(x, y),(x, y)]在对应点(x, y) 的两个 偏导数存在，且可用下列公式计算 2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形 y v v z y u u z y z + = x v v z x u u z x z + =
链式法侧如图示 Oy ax 8y au ay av by 经济数学一微积分
u v x z y 链式法则如图示 = x z u z x u + v z , x v = y z u z y u + v z . y v
定理2推广，设u=(,y)、V=W(x,y)、 w=w(x,y)都在点(K,y)具有对x和y的偏导数，参 函数z=几(x,y),w(x,y),w(x,y川在对应点(x,y) 两个偏导数存在，且可用下列公式计算 Oz oz ou,oz Ov z Ow Ox Ouax 8vax ow 8x z oz ou o ov oz Ow ay ouay ovay ow ay 经济数学 微积分
定理 2 推广，设u = (x, y)、v = ( x, y)、 w = w( x, y)都在点(x, y)具有对x和 y的偏导数，复合 函数z = f[(x, y), (x, y), w(x, y)]在对应点(x, y) 的 两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z + + = , y w w z y v v z y u u z y z + + = . z w v u y x
例2设z=e“sinv,而u=y,v=x+y, 求8和 ax ay 解 DO.Ou O.Ov ax Ou ax av Ox =e“sinv.y+e“cosv.1=e"(ysin v-+cosv), &o.ouo.ov ay ou ay av ay =e“sinv.x+e“cosy.1=e"(x sin v+cosv). 经济数学—一微积分
例 2 设z e v u = sin ，而u = xy，v = x + y ， 求 x z 和 y z . 解 = x z u z x u + v z x v = e sinv y + e cosv 1 u u e ( ysinv cos v), u = + = y z u z y u + v z y v = e sinv x + e cosv 1 u u e (xsinv cos v). u = +