第五为 第五章 反常积方的审敛法 T函数 无穷限的反常积分 反常积分 无界函数的反常积分 无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法 等HIGH EDUCATION PRESS
二、无界函数反常积分的审敛法 第五节 反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分的审敛法 函数 第五章
一、无穷限反常积分的审敛法 定理1.设f(x)EC[a,+o),且f(x)≥0，若函数 F(x)=∫)d1 在[a,+o)上有上界，则反常积分 /x)dx收敛 证：f(x)20,F(x)在[a,+o)上单调递增有上界， 根据极限收敛准则知 lim F(x)=lim [f()dt X-)+00 X→+000 存在，即反常积分。/)dx收敛 音HIGH EDUCATION PRESS 周e00o8
一、无穷限反常积分的审敛法 定理1. 若函数 = x a F(x) f (t) d t 则反常积分 ( )d 收敛. + a f x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据极限收敛准则知 →+ →+ = x x x a lim F(x) lim f (t) d t 存在 , 即反常积分 ( )d 收敛 . + a f x x
定理2.（比较审敛原理）设f(x)eC[a,+o),且对充 分大的x有0≤f(x)≤g(x),则 g(w)d收敛/)d收敛 。”fCd发散→gx)d发散 证：不失一般性，设x∈[a,+o)时，0≤f(x)≤g(x) 若g()d收敛，则对1>a有 ∫afxd≤g(w)dr≤g g(x)dx 故∫。/x)d血是1的单调递增有上界函数，因此 等HIGH EDUCATION PRESS g99g8
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x)C[a, + ), 分大的x有 且对充 0 f (x) g(x) , 则 g x x收敛 a ( )d + g x x发散 a ( )d + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 不失一般性 , 则对t a有 f x x t a ( )d g x x t a ( )d 故 f x x是 t 的 t a ( )d 单调递增有上界函数 , 因此
limJ6fx)dr=∫2fcx)dx 极限存在，即反常积分∫。()dx收敛。 若∫。f()dr发散，因为1>a时有 0sj。/(ew)dr≤∫。gw)d 令1→+o,可见反常积分。g()必发散。 说明：已知。 +01 收敛，p>1 (a>0) 发散，p≤1 故常取g(x)=(A>0)作比较函数，得下列比较审敛法 等HIGH EDUCATION PRESS 090008 机动目录上页下页返回结束
f x x f x x a t t a lim ( )d ( )d + →+ = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 已知 得下列比较审敛法. 极限存在
定理3.（比较审敛法1）设非负函数f(x)∈Ca,+o) (a>0). 1)若存在常数M>0,p>1,使对充分大的x有 M (x)≤ 则ge)ax收敛 xP 2)若存在常数N>0,p≤1，使对充分大的x有 N f(x) xP 则f(x)dx发散 音HIGH EDUCATION PRESS 周R0008
定理3. (比较审敛法 1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 p x M f (x) p x N f (x) p 1, p 1
例1.判别吸常积分dx的敛散性。 解：0≤ sin-x 1 x++1 由比较审敛法1可知原积分收敛. 思考每讨论反常银分”g dx的敛散性 提示：当x之1时，利用 x3+1x+1)3x+1 可知原积分发散 等HIGH EDUCATION PRESS 周金8008
例1. 判别反常积分 解: 的敛散性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 的敛散性 . 提示: 当 x≥1 时, 利用 可知原积分发散
定理4.（极限审敛法1）若f(x)∈C[a,+o),且f(x)≥0， 满足 lim xPf(x)=1 x->+00 侧则有1)当p>1,0s11时，根据极限定义，对取定的ε>0，当x充 分大时，必有xPf(x)≤1+6，即 M 0≤f(x)≤ (M=1+8) 可见。/dr收敛 考HIGH EDUCATION PRESS 0④0D08 机动目录上页下页返回结束
定理4. (极限审敛法1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x f x l p x = →+ lim ( ) 则有: 1) 当 2) 当 证: 当p 1时, 根据极限定义 , 对取定的 当 x 充 分大时, 必有 , 即 满足
当p≤1时，可取ε>0，使1-8>0，（亿=+o时用任意正 数N代替1-)，必有 xPf(x)≥1-8 即 1-8、N f(x)≥≥ N=1-8) 可见fw)dx发散. 注意：lim xPf(x)=lim f(x) 1 此极限的大小刻画了 X→+0 x→+0 xp x→+o时f(x)趋于0的快慢程度 等HIGH EDUCATION PRESS 周R0009
当 机动 目录 上页 下页 返回 结束 p 1时, 可取 0, 必有 即 使l − 0, (l = + 时用任意正 数N 代替l − ), 注意: 此极限的大小刻画了
dx 例2.判别反常积分J1 的敛散性 xv1+x 解：limx2. lim x→+0 xv1+x 3+1 根据极限审敛法1，该积分收敛 例3.判别反常积分” -dx 的敛散性 解： ,limx lim X→+00 1+x 01+x21 根据极限审敛法1，该积分发散 等HIGH EDUCATION PRESS 周00o⑧
例2. 判别反常积分 + + 1 2 1 d x x x 的敛散性 . 解: 2 2 1 1 lim x x x x + →+ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 lim 2 1 + = →+ x x =1 根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 . 例3. 判别反常积分 x x x d 1 1 2 2 3 + + 的敛散性 . 解: 2 1 lim 2 3 2 1 x x x x + →+ 2 2 1 lim x x x + = →+ =1 根据极限审敛法 1 , 该积分发散
定理5若f(x)eC[a,+o),且。f(x)dx收敛， 则反常积分f(x)dx收敛 证：令p(x)=Lf(x)+f(x)],则0≤p(x)≤f(x) ∫f(xdx收敛，.p(x)dx也收敛。 而 f(x)=2p(x)-f(x) fdx=2pax-店1lax a 可见反常积分 fx)dx收敛 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 ( ) [ , ),且 （ ）d 收敛, + + a f x C a f x x 则反常积分 ( )d 收敛. + a f x x 证： ( ) [ ( ) ( ) ], 2 1 令 x = f x + f x 则 0 (x) f (x) （ ）d 收敛, + a f x x ( )d 也收敛, + a x x f (x) = 2(x) − f (x) f x x x x f x x a a a ( )d 2 ( )d ( ) d + + + = − 而 可见反常积分 f (x)d x 收敛. a +