第五节 第十一章 晶款幂级款展开式的友用 一、近似计算 二、欧拉公式 音HIGH EDUCATION PRESS 周000⑧
第五节 一、近似计算 二、欧拉公式 函数幂级数展开式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章
一、近似计算 例1.计算5/240的近似值，精确到104 解：8240=8243-3=3(1-) ) /1411491,14.9.141 n=35223+330+46+ 11 .240≈3(1- 534)≈3-0.00741≈2,9926 等HIGH EDUCATION PRESS】 周金000
一、近似计算 + x = + mx + m (1 ) 1 + − 2 2! ( 1) x m m + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) (−1 x 1) 例1. 计算 5 240 10 . −4 r2 = 3 2 8 3 1 5 2! 1 4 3 12 3 1 5 3! 1 4 9 + + + 4 16 3 1 5 4! 1 4 9 14 81 8 1 1 1 3 1 25 6 − = ) 3 1 5 1 240 3(1 4 5 − 3− 0.00741 2.9926 的近似值, 精确到 + + + 2 2 8 81 1 81 1 1 3 1 5 2! 1 4 3 4 0.5 10− 3 1 = 4 3 1 5 1 − 2 8 3 1 5 2! 1 4 − − − 3 12 3 1 5 3! 1 4 9 解: 5 5 240 = 243−3 5 1 4 3(1 ) 3 1 = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.计算ln2的近似值，使准确到10-4 解：已知 ln(1+x)=x- 十一一一十·· (-1<x≤1) 234 .ln1-x)=-x x-xx -… 234 (-1≤x<1) 故 1+x=In(+x)-Ind-x) 1- =2(x+5x+2x+…)~1<r<1) 3 5 令 中x=2得x=3于是有 1-X ln2=2 1,11,1111 33353+737+… HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
( 1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4 − = − − − − − − x x x x x x 例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 10 . −4 解: 已知 故 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 令 2 1 1 = − + x x 得 = + 3 + 5 + 7 + 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 , 3 1 x = 于是有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在上述展开式中取前四项 g7六】 时时*小43 78732 <0.2×10-4 ≈0.6931 等HIGH EDUCATION PRESS 周金0008
4 9 3 1 9 1 2 r = 11 + + ) 2 + 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − = + + + 3 5 7 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 0.6931 11 3 1 11 1 + + 13 + 3 1 13 1 9 4 3 1 = 4 0.2 10 78732 1 − = 在上述展开式中取前四项, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：在展开式 In"' 1-x 中，令x= 1(n为自然数)，得 2n+1 n+l=2 之 .'In(n+1)=Inn+ 具此递推公式可求出任意正整数的对数.如 In5 21n 2+ ++ ≈1.6094 939 等HIGH EDUCATION PRESS
说明: 在展开式 中,令 2 1 1 + = n x + + + + + + = + 3 ) 5 2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 2 1 ln n n n n n 得 ln(n +1) 具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如 = + + 3 + ) 5 + 9 1 ( 5 1 ) 9 1 ( 3 1 9 1 ln5 2ln 2 2 1.6094 ( n为自然数) , + + + + + + = + 3 ) 5 2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 ln 2 n n n n = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.利用sinx≈x- 3引求sn9的近似值，并估计 误差 解：先把角度化为弧度9°= π π -X9三 (弧度) 18020 sn=-1+-1 )7 202032051207120 512012 (0.2)5<×10- 3 ππ Sin≈ 1π3 ≈0.157080-0.000646 20203120 ≈0.15643 误差不超过10~3 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
= − 3 + 5 − ) 7 + 20 ( 7! 1 ) 20 ( 5! 1 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin 例3. 利用 求 误差. 解: 先把角度化为弧度 9 = (弧度) 5 2 ) 20 ( 5! 1 r 5 (0.2) 120 1 5 10 3 1 − 3! sin 3 x x = x − 5! 5 x + 7! 7 x − + 0.157080 − 0.000646 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin − 误差不超过 5 10− 的近似值 , 并估计 0.15643 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.计算积盼去edr的近似值精确到10 (取元≈0.56419) 解：e2=1+)+xx2 11 2! 3刘 2n =∑(-1 (-00<x<+0) nl es-3-r (-1)” Vπ nlJ0 n=0 元nl(2n+1)2* 等HIGH EDUCATION PRESS 0e000⊙
( 取 例4. 计算积分 的近似值, 精确到 0.56419) 1 解: 1 2 = −x e ! ( 1) 2 0 n x n n n = = − (− x +) e x x d 2 2 2 1 0 − dx 2 2 1 0 = ! ( 1) 2 0 n x n n n = − = − = 0 ! 2 ( 1) n n n x x n d 2 0 2 1 1! ( ) 2 −x + 2! ( ) 2 2 −x + + − + 3! ( ) 2 3 x = − = 0 ! 2 ( 1) n n n 2 1 2 1 n+ (2n +1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
欲使截断误差 i104→n≥4 取n=4,则所求积分近似值为 22.324.5.2126.7.3到 ≈0.5205 等HIGH EDUCATION PRESS
( ) 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6 − + − e −x dx = 2 2 1 0 2 + − + = − 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6 n n n n r 2 !(2 1) 2 1 1 + 4 10− 2 4 !(2 +1) 2 10 n 则 n 应满足 n n e x x d 2 2 1 2 0 − 则所求积分近似值为 欲使截断误差 0.5205 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.计算积分 Jo x dx的近似值，精确到104 解：由于1 lim sinx=1故所给积盼不是广义积盼 x→0X 若定义被积函数在x=0处的值为1，则它在积分区间 上连续，且有幂级数展开式： 2n +…+(-1) 315171 (2n+1)月 dx=1- (-1)” 0 3.3!5.5 (2n+1):(2n+1)! 1 5<7.7135280 <0.3×104 ≈1-0.05556+0.00167≈0.9461 等HIGH EDUCATION PRESS 899g
例5. 计算积分 的近似值, 精确到 解: 由于 1, sin lim 0 = → x x x 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间 + + = − + − + + − (2 1)! ( 1) 3! 5! 7! 1 sin 2 4 6 2 n x x x x x x n n x x x d 1sin 0 =1 − + 5 5! 1 + + + − + (2 1) (2 1)! ( 1) n n n r3 1− 0.05556 + 0.00167 上连续, 且有幂级数展开式 : 0.9461 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、欧拉(Euler)公式 对复数项级数 ∑4n+iy,) ① n=l 若∑4n=,∑，=y,则称国收敛，且其和为+N n=1 若∑+i=∑√听+ 收敛，则称①绝对收敛 n=1 n=1 由于4nsn2+n2,|a≤，2+,,故知 00 0 ∑(4n+iyn)绝对收敛 ∑4n,∑Vn绝对收敛 n= n=1 n=] 0 ∑(un+ivn)收敛 n=l HIGH EDUCATION PRESS
二、欧拉(Euler)公式 则称 ① 收敛 , 且其和为 ( ) 1 n n n u + i v = 绝对收敛 , 1 n= n u ( ) 1 n n n u + i v = 收敛 . , 1 u u n n = = , 1 v v n n = = 若 n n n u + i v =1 u + i v. 2 2 1 n n n = u +v = 收敛, 若 对复数项级数 , 2 2 n n n u u + v 2 2 n n n v u + v ① n=1 n v 绝对收敛 则称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束