”第九节 第八章 二元蓝数的泰勃公式 一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明 HIGH EDUCATION PRESS 动目最上页下页返回结束
*第九节 一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的泰勒公式 第八章
一、二元函数的泰勒公式 一元函数f(x)的泰勒公式 o+0=f0)+xh+"o2h2+ 21 f(n+D (xo+0x)h (n+1)I (0<0<1) 推广 多元函数泰勒公式 考HIGH EDUCATION PRESS 周f0008
一、二元函数的泰勒公式 一元函数 f (x) 的泰勒公式: + + = + + 0 2 0 0 0 2! ( ) ( ) ( ) ( ) h f x f x h f x f x h n n h n f x ! ( ) 0 ( ) + (0 1) 推广 多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
记号（设下面涉及的偏导数连续） .60+k2)ow)表示h/(K0,o+k万，(0,6) Ox Ov ·(h +k⊙}fx,W)表示 Ox oy h2fxx(xo,yo)+2hk fsy(xo-o)+kfyy(o yo) .一般地h3+k已”fKo,o)表示 1y c h- D=0 OxPOym-P (xo,Yo) 等HIGH EDUCATION PRESS
记号 (设下面涉及的偏导数连续): ( ) ( , ) 0 0 f x y y k x h + ( ) ( , ) 0 0 2 f x y y k x h + ( ) ( , ) 0 0 f x y y k x h m + ( , ) ( , ) 0 0 0 0 h f x y k f x y 表示 x + y ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0 0 2 0 0 0 0 2 h f x y hk f x y k f x y xx + x y + y y ( , ) C 0 0 0 x y x y f h k p m p m p m p m p p m − − = • 一般地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 • • 表示 表示
定理1.设：=f(x,y)在点(x0,%)的某一邻域内有直 到n+1阶连续偏导数，(x,+h,y%+k)为此邻域内任 一点，则有 f(o+h,o+k)=f(xo.Yo)+(h)f(o,Yo) +h8+k8)P0,o)+… +h品+k)”fo,o)+R ① 其中R。=(h品+k寻)”1f(0+h%+8k)② (0<0<1) ①称为f在点(x,%)的n阶泰勒公式，②称为其拉格 朗日型余项 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理1. ( , ) ( , ) 0 0 设 z = f x y 在点 x y 的某一邻域内有直 到 n + 1 阶连续偏导数 , ( , ) 0 0 x + h y + k 为此邻域内任 一点, 则有 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + h y + k = f x y ( ) ( , ) 0 0 h k f x y x y + + + 2 1 ! (h x + k y ) 2 f (x0 , y0 ) + ( ) ( , ) ! 0 0 1 h k f x y n n x y + + ( ) ( , ) 0 0 1 ( 1)! 1 R h k f x h y k n n n x y = + + + + + (0 1) + Rn 其中 ① ② ① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格 朗日型余项 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
证：令p(t)=f(xo+tho+1k)(0≤t≤1)， 则 (0)=f(xo,Yo),o(1)=f(xo +h,yo+k) 利用多元复合函数求导法则可得 '(t)hfx(xo +ht,yo +kt)+kfy(xo +ht,yo +kt) →p0)=(h器+k哥)(o,o) o"(t)h-fxx (xo +ht,yo +kt) +2hkfxy(xo +ht,yo +kt) +k2fyy(xo+ht,yo+kt) →p0)=h品+k》2fxow) 考HIGH EDUCATION PRESS 周e00o⑧
证: 令 ( ) ( , ) (0 1), t = f x0 + th y0 + tk t 则 (0) ( , ), (1) ( , ) 0 0 0 0 = f x y = f x + h y + k 利用多元复合函数求导法则可得: ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 t h f x ht y kt k f x ht y kt = x + + + y + + (0) ( ) ( , ) 0 0 h k f x y x y = + ( ) ( , ) 0 0 2 t h f x ht y kt = xx + + 2 ( , ) 0 0 hk f x ht y kt + x y + + ( , ) 0 0 2 k f x ht y kt + y y + + (0) ( ) ( , ) 0 0 2 h k f x y x y = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一般地， m omf D=0 8xPOy"-P (xo ht,yo +kt) →pm0)=(h品+k)”fo0) 由p(t)的麦克劳林公式，得 0）=0+p0)+0'(0++pm(0 (0) +1 (0<0<1) 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式 等HIGH EDUCATION PRESS
( , ) ( ) C 0 0 0 ( ) x y x ht y kt f t h k p m p m p m p m p p m m + + = − − = 一般地, (0) ( ) ( , ) 0 0 ( ) h k f x y m x y m = + 由 (t) 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明： (1)余项估计式.因f的各+1阶偏导数连续，在某闭 邻域其绝对值必有上界M,令p=√h2+k2,则有 iRls-M h+k)+ (h=pcosa (n+1)I k=psina M p"+(cosa+sina)"+l (n+1)川 利用max(x+V1-x2)=√2 [0,11 M (2)n+1pn+1 (n+1) =o(p” 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
( ) ( , ) 0 0 1 ( 1)! 1 R h k f x h y k n n n x y = + + + + + 说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭 邻域其绝对值必有上界 M , 则有 1 ( ) ( 1)! + + + n n h k n M R = = sin cos k h 1 1 ( cos sin ) ( 1)! + + + + = n n n M max( 1 ) 2 [0,1] 利用 x + − x 1 1 ( 2) ( 1)! + + + n n n M ( ) n = o = 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)当n=0时，得二元函数的拉格朗日中值公式： f(xo +h,yo +k)-f(xo,yo) =hfx(x0 +0h,yo +0k)+kfy(xo +0h,yo +0k) (0<0<1) (3)若函数z=f(x,y)在区域D上的两个一阶偏导数 恒为零，由中值公式可知在该区域上f(x,y)=常数， 等HIGH EDUCATION PRESS 周000⑧
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式: ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + h y + k − f x y ( , ) 0 0 h f x h y k = x + + ( , ) 0 0 k f x h y k + y + + (0 1) (3) 若函数 z = f (x, y) 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f (x, y) 常数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求函数f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0)的三阶泰 勒公式 》=，》+2 fx(x,)=才(x,)=f(x,y)= (1+x+y)1 of 21 axPoy3-P (1+x+y)3 (p=0,1,2,3) o"f -31 OxPOv4-p (1+x+y)4 (p=0,1,2,3,4) 因此，(h品+k)f0,0)=hf(0,0)+kf,0,0)=h+k 考HIGH EDUCATION PRESS 周009⑧
例1. 求函数 f (x, y) = ln(1+ x + y)在点(0,0) 解: x y f x y f x y x y + + = = 1 1 ( , ) ( , ) 的三阶泰 勒公式. 2 (1 ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) x y f x y f x y f x y xx x y y y + + − = = = 3 3 3 (1 ) 2! x y x y f p p + + = − ( p = 0,1,2,3) 4 4 4 (1 ) 3! x y x y f p p + + − = − ( p = 0,1,2,3,4) 因此, (h k ) f (0, 0) x y + (0, 0) (0, 0) x y = h f + k f = h + k 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(h品+k8》'f0,0 =h2fxx(0,0)+2hkfx0,0)+k2fy(0,0)=-(h+k)2 h器+k8Pf00)-∑CaPk- af p=0 axP8y3-P (0,0) =2(h+k)3 又f(0,0)=0,将h=x,k=y代入三阶泰勒公式得 n0+x+)=x+y-+2++3+& 其中 (x+y)4 =(hkf(oh.0k)0x0) k=v (0<0<1) 》HIGH EDUCATION PRESS 090C08 机动目录上页下页返回结束
( ) (0, 0) 2 h k f x y + ( ) (0, 0) 3 h k f x y + (0, 0) 2 (0, 0) (0, 0) 2 2 xx x y y y = h f + hk f + k f (0,0) C 3 3 3 3 0 3 p p p p p p x y f h k − − = = 2 = −(h + k) 3 =2(h + k) 又 f (0, 0) = 0,将h = x, k = y代入三阶泰勒公式得 ln(1+ x + y) = x + y 2 ( ) 2 1 − x + y 3 3 ( ) 3 1 + x + y + R 其中 ( ) ( , ) 4 3 R h k f h k x y = + 4 4 (1 ) ( ) 4 1 x y x y + + + = − k y h x = = (0 1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束