第一节中值定理 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、小结 思考题 经济数学一微积分
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 四、小结 思考题 三、柯西中值定理 第一节 中值定理
、 罗尔(Role)定 罗尔(RolIe)定理 如果函数x)在闭区间 a,1上连续，在开区间(a,b)内可寻且在区 间端点的函数值相等，即f()=f(b,那末在 (@,b)内至少有一点(a<飞<b),使得函数 f(x)在该点的导数等于零， 即f(飞)=0 例如，fx)=x2-2x-3=(x-3)(x+1). 在-1,3上连续，在(-1,3)上可导，且f(-1)=f(3)=0, f'(x)=2(x-1),取ξ=1，(1∈(-1,3) f'(传)=0. 经济数学一微积分 0⊙o
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且在区 间端点的函数值相等，即 f (a) = f (b),那末在 (a,b) 内至少有一点 (a b) ,使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = (1) (2) (3) 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0. f (x) = 2(x −1)
几何解释： y=f(x) 在曲线弧4B上至 少有一点C,在该点处 的切线是水平的 51 52b 物理解释： 变速直线运动在 折返点处，瞬时速度 等于零. 点击图片任意处播放暂停 经济数学—一微积分
点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在 折返点处, 瞬时速度 等于零. 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 的切线是水平的 少有一点 在该点处 在曲线弧 上至 C AB C
证f(x)在[a,b1连续，必有最大值M和最小值m. ()若M=m. 则f(x)=M, 由此得f'(x)=0.廿ξ∈(a,b),都有f'(传)=0. (2)若M≠m. .f(a)=f(b): ∴.最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a), 则在(a,b)内至少存在一点5使f(5)=M. :f(传+△x)≤f(传)，∴.f传+△)-f(传)≤0， 经济数学—一微积分
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
若△x>0,则有f5+A)-f)≤0： △K 若Ax<0,则有f传+A)-f⑤≥： △x ÷f'(传)=1im5+A)-f⑤≥0店 △x→-0 △x )=f5+a-Es △r f'(传)存在，f(传)=f(传) .只有f'()=0. 经济数学一微积分
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0
注意：若罗尔定理的三个条件中有一个不满足，其 结论可能不成立 例如，y=x,x∈-2,2； 在[-2,2]上除'(0)不存在外，满足罗尔定理 的一切条件，但在区间[-2,2]内找不到一点能 使f'(x)=0. 又例如，y= [1-x,x∈(0， 0,x=0 y=x,x∈I0,1. 经济数学一微积分
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 的一切条件 在 − 上除 f 不存在外 满足罗尔定理 ( ) 0. [-2 2] 使 f x = 但在区间 ， 内找不到一点能 ; 0, 0 1 , (0,1] = − = x x x y y = x, x[0,1]. 又例如
例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根， 证：设f(x)=x5-5x+1,则f(x)在0,1连续， 且f0)=1,f)=-3.由介值定理 3x。∈(0,1)，使f(x)=0.即为方程的小于1的正实根。 设另有K1∈(0,1)，x1≠x,使f(x)=0. ~f(x)在x,x,之间满足罗尔定理的条件， “至少存在一个5（在，x1之间），使得'()=0. 但f"(x)=5(x-1)<0,(∈(0,1)矛盾，∴.为唯一实根， 经济数学一微积分
例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证: ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根
二、拉格朗日中值定理 (Lagrange's Mean-value Theorem) 拉格朗日中值定理 如果函数fx)(1)在闭区间 [a,b1上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，那末在a,b) 内至少有一点(a<飞<b),使等式 f(b)-f(@)=f(传)b-a)成立. 注意：与罗尔定理相比条件中法掉了f()=f(b), 结论亦可写成b)-f@=∫'传 b-a 经济数学一微积分
二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)(1)在闭区间 [a,b]上连续,(2)在开区间(a,b) 内可导,那末在(a,b) 内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a 结论亦可写成 (Lagrange’s Mean-value Theorem)
几何解释： y=f(x) 在曲线弧AB上至 B 少有一点C,在该点处的 切线平行于弦AB. 0 证分析：条件中与罗尔定理相差f()=f(b). 弦AB方程为 y=f(a+f(b)-f(@(x-a). b-a 曲线f(x)减去弦AB, 所得曲线，b两端点的函数值相等 经济数学—一微积分
o a 1 x 2 b x y y = f (x) A B C N D M 几何解释: . , AB C AB 切线平行于弦 少有一点 在该点处的 在曲线弧 上 至 证 分析: 条件中与罗尔定理相差f (a) = f (b). 弦AB方程为 ( ). ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − − − = + 曲线 f (x) 减去弦 AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等
作辅助函数 F(x)=f(x)-If(@)+I(b)-f(a(x-a)l b-a F(x)满足罗尔定理的条件 则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得F'(传)=0. 即f'g-fb)-f@-0 b-a 拉格朗日中值公式 或f(b)-f(@)=f'(传)b-: 注意：拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系 经济数学一微积分
作辅助函数 ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) x a b a f b f a F x f x f a − − − = − + F(x)满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 F() = 0. 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a 即 f 或 f (b) − f (a) = f ()(b − a). 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系