第一节 不定积分的概念与性质 一、 原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结思考题 经济数学一微积分
一、原函数与不定积分的概念 四、不定积分的性质 三、基本积分表 五、小结 思考题 第一节 不定积分的概念与性质 二、不定积分的几何意义
原函数与不定积分的概念 定义如果在区间1内，可导函数F(x)的 导函数为f(x),即x∈I,都有F'(x)=f(x) 或dF(x)=f(x),那么函数F(x)就称为f(x) 在区间I内原函数 (primitive function) 例(sinx)=cosx sinx是cosx的原函数， (nx)=1 (x>0) Inx是在区间(0，+oo)内的原函数. 经济数学 一微积分
例 (sin x) = cos x sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F(x)的 即x I，都有F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx，那么函数F(x)就称为f (x) 导函数为 f (x)， 在区间I内原函数. 一、原函数与不定积分的概念 ( primitive function ) 定义
定理原函数存在定理： 如果函数f(x)在区间1内连续， 那么在区间I内存在可导函数F(x), 使Vx∈I,都有F'(x)=f(x) 简言之：连续函数一定有原函数（在下一章中证明） 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 例(sinx)=cosx (sinx+C)=cosx (C为任意常数) 经济数学一 微积分
原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I 内连续， 简言之：连续函数一定有原函数.(在下一章中证明) 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin x) = cos x (sin x C) = cos x + （ C 为任意常数） 那么在区间I 内存在可导函数F(x)， 使x I，都有F(x) = f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 定理
关于原函数的说明： (1)若F(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是f(x)的原函数. (2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数， 则F(x)-G()=C(C为任意常数) 证[F(x)-G(x)]=F'(x)-G'(x) =f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(C为任意常数) 说明F(x)+c是f(x的全部原函数 经济数学 微积分
关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. （2）若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 说明F(x)+ c是f (x)的全部原函数
定义不定积分(indefinite integral)的定义： 函数f在区间I上的全体原函数称为f 在I上的不定积分，记作「f(x)dx, ∫fx)=F(x)+C 被 任 分 积 积 原 数 表达式 数 意常数 经济数学 微积分
任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分(indefinite integral)的定义： f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 定义 原 函 数 f x x ( )d , 函数 在区间 上的全体原函数称为 f I f 在 I 上的不定积分, 记作
例1求∫xd. 解()=，小=若+ 求c 解(arctanx)= 1+x2 arctanx+C. 经济数学一微积分
例1 求 . 5 x dx 解 , 6 5 6 x x = . 6 6 5 C x x dx = + 解 例2 求 . 1 1 2 + dx x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + = arctan . 1 1 2 = + + dx x C x
例3某商品的边际成本为100-2x,求总成 本函数C(x) 解 C(x)=∫(100-2x)d =100x-x2+c 其中C为任意常数 如已知固定成本为50，则C=50 经济数学一微积分
例3 某商品的边际成本为 , 求总成 解 = x − x + c 2 100 C(x) = (100 − 2x)dx 其中 c 为任意常数 100 − 2x 本函数 C(x). 如已知固定成本为50，则C＝50
二、不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 显然，求函数的不定积分可得到一积分曲线族， 在同一横坐标x=x。处，任一曲线的切线有 相同的斜率 0 经济数学一微积分
二、不定积分的几何意义 0 x y 0 x 横坐标 处,任一曲线的切线有 函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线. 显然，求函数的不定积分可得到一积分曲线族, 0 在同一 x = x 相同的斜率
三、 基本积分表 实例 4+*C (4≠-1) 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是基本是互 逆的，因此可以根据求导公式得出积 分公式. 经济数学—一微积分
实例 x x = + + 1 1 . 1 1 C x x dx + + = + 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是基本是互 逆的，因此可以根据求导公式得出积 分公式. ( −1) 三、 基本积分表
(①) kd=r+C(k是常数)； Jx"dx= thtl (2) ,+C(μ≠-1) 基本积分表 从+1 (3) ∫您=+ (4) 1x=arctanx+C; 1 (5) dx=arcsinx+C; V1-x2 (6) cosxdx=sinx+C; (7) [sinxdx=-cosx+C; 经济数学一微积分
基本积分表 (1) kdx = kx + C (k 是常数); ( 1); 1 (2) 1 + − + = + C x x dx (3) ln ; = x + C x dx = + dx x 2 1 1 (4) arctan x + C; = − dx x 2 1 1 (5) arcsin x + C; (6) cos xdx = sin x + C; (7) sin xdx = − cos x + C;