第七节 第十一章 停里叶级数 一、 三角级数及三角函数系的正交性 二、 函数展开成傅里叶级数 三、 正弦级数和余弦级数 考HIGH EDUCATION PRESS
第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数
一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (4为振幅，o为角频率，p为初相) 00 复杂的周期运动：y=A0+∑An sin(0t+Pn) n=] (谐波迭加) An sin On cosnot+An cos On sinnot 21 do=Ao,an An sinon>bn An coson t=x 得函数项级数 2 (an cosnx+b sinnx 称上述形式的级数为三角级数 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos + n cosn sin 令 sin , an = An n cos , bn = An n 得函数项级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n k + + = 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.组成三角级数的函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosx,sinx,… 在[-π，π]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，]上的积分等于0 :cosmdx=1sinndx=0 (n=1,2.) 证 [coskxcosnxdx coskxcosnx=[cos(k+nx+cos(k-n)x] [[cos(k+n)x+cos(k-m)x]dx=0 (k n) 同理可证： sinkx sin nxdx=0(k≠n)） rπ cos kx sin nx dx =0 》HIGH EDUCATION PRESS 周金000⑧
cos(k n)x cos(k n)x d x 2 1 = + + − − 定理 1. 组成三角级数的函数系 证: − 1 cos nxd x = − 1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx − = 0 sin sin d = 0 − kx nx x 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin d = 0 − kx nx x (k n ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[-π，π] 上的积分不等于0.且有 1-1dx=2r cos2nxdr=元 π (n=1,2,…） sin'nxdx cos2 nx= 1+cos2nx sin2 nx= 1-cos 2nx 2 2 等HIGH EDUCATION PRESS 周f009
上的积分不等于 0 . 11d = 2 − x sin nxdx 2 − cos n xdx 2 − , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 = = 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、函数展开成傅里叶级数 定理2.设f(x)是周期为2π的周期函数，且 j0号空a.wa4nm ① 右端级数可逐项积分，则有 a,=∫nfx)cosd (n=0,1,…) ② bf()sinndx (n=1,2, 证：由定理条件，对@在[一π，]逐项积分，得 ∫fx)dk=ao [dx+ cosnx dx+b sinnx dx -元 n=】 -元 =a0π 等HIGH EDUCATION PRESS -008 机动目录上页下页返回结束
二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = + + = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, + = + − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x dx ① ② 对①在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f)dx f,fx)coskxdx=∫ coskxdx+ 2J-元 cos kx cosnxdx bn| cos kx sinnx dx ak cos2kxdx=akπ (利用正交性) ak=二f(x)coskx dx(k=1,2,…) 类似地，用sin x乘①式两边，再逐项积分可得 b =-[f(x)sinkxdx (k=1,2,.) -π 》HIGH EDUCATION PRESS 周R0008
= + − − kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d 0 = + n 1 + − a kx nx x n cos cos d b kx nx x n cos sin d − a kx x k cos d 2 − = a f x kx x k ( )cos d 1 − = ( k =1, 2, ) (利用正交性) ( )sin d ( 1, 2, ) 1 = = − b f x kx x k k a f (x)d x 1 0 − = 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
fx)=+(acos+b.snm） 2 ① n=1 (n=0,1,…) ② h=-t" f(x)sinnxdx (n=1,2,…） 由公式②确定的an,bn称为函数 f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 f(x)的傅里叶级数 等HIGH EDUCATION PRESS
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ( ) = = + + 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x − = = ( )cos d ( 0,1, ) 1 an f x nx x n 由公式 ② 确定的 ① ② 以 − = = ( )sin d ( 1, 2, ) 1 bn f x nx x n 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束
定理3（收敛定理，展开定理）设f(x)是周期为2的 周期函数，并满足狄利克雷(Dirichlet)条件 1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； 2)在一个周期内只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛，且有 注意：函数展成 傅里叶级数的条 号+∑c+b sinn 件比展成幂级数 n=1 的条件低得多 f(x), x为连续点 f(x")+f(x) x为间断点 2 其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.（证明略） 等HIGH EDUCATION PRESS f808
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 = f (x) , , 2 ( ) ( ) + − f x + f x x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设f(x)是周期为2元的周期函数，它在[-π，π) 上的表达式为 -π≤x<0 f(x) 1 0≤x<π 将f(x)展成傅里叶级数 解：先求傅里叶系数 a=月2/(odx -（-)+ 。1·cos nxd x =0 (n=0,1,2,…） HIGH EDUCATION PRESS 周e000⑧
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 − − = x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 解: 先求傅里叶系数 = − + − 0 0 1 cos d 1 ( 1)cos d 1 nx x nx x = 0 ( n = 0 ,1, 2 , ) 将 f (x) 展成傅里叶级数. o y x −1 − 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(-) 1 cosnx ]"2[1-cosnzi 当n=1,3,5, 0, 当n=2,4,6, ..f(x)=[sinx+sin3x+... 2k-7sn(2k-1x+】 1 3 (-00<x<+0,x≠0，±π，±2π，…) 等HIGH EDUCATION PRESS
= − + − 0 0 1 sin d 1 ( 1)sin d 1 nx x nx x 0 1 cos − = n nx 0 1 cos − + n nx n n 1 cos 2 = − n n 1 ( 1) 2 = − − = , 4 n 0 , 当n =1, 3 , 5 , 当n = 2 , 4 , 6 , f x = sin x + 4 ( ) sin 3x + 3 1 − + − + k x k sin(2 1) 2 1 1 (− x + , x 0 , , 2 , ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束