第三节 任意项级数的绝对与条件收敛 一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结思考题 经济数学一微积分
一、交错级数及其审敛法 三、小结 思考题 第三节 任意项级数的绝对与条件收敛 二、绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法 定义：正、负项相间的级数称为交错级数， -1-4或2（-1)4。（其中u>0) n=1 定理1莱布尼茨定理如果交错级数满足条件： （i)un≥un+1(n=1,2,3,…);(ii)lim u=0, 1→0 则级数收敛，且其和s≤41，其余项"的绝对值 Tn≤un+1r 经济数学一微积分 oO
一、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. n n n n n n u u = = − − − 1 1 1 ( 1) 或 ( 1) 定理 1 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ) ( 1,2,3, ) un un+1 n = ;(ⅱ)lim = 0 → n n u , 则级数收敛,且其和 u1 s ,其余项 n r 的绝对值 n un+1 r . ( 0) 其中un
证明：Wn-1-Wn≥0， ∵S2m=(41-L2)+(W3-4)+…+(u2m-1-2m) 数列52n是单调增加的， 又S2m=41-(u2-43)-…-(42m-2-W2n-1)-L2n ≤41数列S2n是有界的， ∴.limS2m=S≤%1 lim42+1=0, 经济数学—一微积分
证明 n u u u u n u n u n s2 1 2 3 2 2 2 1 2 又 = − ( − ) −− ( − − − ) − ( ) ( ) ( ) 2n u1 u2 u3 u4 u2n 1 u2n s = − + − ++ − − u1 0, un−1 − un lim . 2 u1 s s n n = → lim 0, 2 +1 = → n n u , 数列 s2n是单调增加的 , 数列 s2n是有界的
.lim s2n+i lim(S2n+u)=, n-→00 级数收敛于和s,且s≤山 余项rn=±(un+1一4+2+为 rn=4+1-un+2+…, 满足收敛的两个条件，n≤L+1… 定理证毕 经济数学一微积分
lim lim( ) 2 1 2 2 +1 → + → = n + n n n n s s u = s, , . u1 级数收敛于和s 且s ( ), 余项rn = un+1 − un+2 + , rn = un+1 − un+2 + 满足收敛的两个条件, . n un+1 r 定理证毕
例1判别交错级数1-1+1_1 234 的敛散性 11 解山n=一 nn+1 =L+1(n=1,2,…) 又lim u=0 故级数收敛. 经济数学一微积分
解 ( 1，2，） 1 1 1 = 1 = + = u + n n n un n lim = 0 → n n 又 u 故级数收敛. . 4 1 3 1 2 1 1 1 的敛散性 例 判别交错级数 − + − +
例2判别级数立 的收敛性 n=2 n-1 -(1+x) 解 '( x-1 儿n+1) 北-1 n 又lim4n=lim。 =0 原级数收敛 1>o0 n-→on-1 经济数学—一微积分
例 2 判别级数 = − − 2 1 ( 1) n n n n的收敛性. 解 2 2 ( 1) (1 ) ) 1 ( − − + = − x x x x x 0 (x 2) , 1 故函数 单调递减 x − x , un un+1 1 lim lim − = → → n n u n n n 又 = 0. 原级数收敛
注意 1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非 必要条件； 思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立， 结果如何？ 2.判定Wn+1<L的方法 1)w1-wn<0:2)a1<15 3)相应函数的单调性 经济数学一微积分
注意 1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非 必要条件； 思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立， 结果如何？ 2.判定 un+1 un 的方法 1)un+1 − un 0； 2） +1 1； n n u u 3）相应函数的单调性
二、绝对收敛与条件收敛 定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 任意项级数的各项取绝对值 任意项级数 正项级数 问题：如何研究任意项级数的敛散性问题？ 经济数学一微积分
二、绝对收敛与条件收敛 任意项级数 正项级数 任意项级数的各项取绝对值 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？
任意项级数的敛散性 1∑，绝对收敛收敛： 2空，条件收敛实发故克收敏。 3立发散 n= 经济数学—一微积分 ■
绝对收敛： =1 1. n un 收敛； n=1 un 条件收敛： =1 2. n un 发散， 收敛； = =1 n 1 n n un u 3. . 1 发散 n= un 任意项级数的敛散性
定理2 若2收敛则.收敛 n= n= 证明 令v.=2,+w,)m=l2,b 显然yn≥0且yn≤un, 收致 又24-22w,-uh 收 经济数学一微积分
定理 2 若 n=1 un 收敛,则 n=1 un 收敛. 证明 ( ) ( 1,2, ), 2 1 令 vn = un + un n = 0, n 显然 v , n un 且 v , 1 收敛 = n n v (2 ), 1 1 = = = − n n n n 又 un v u = n 1 un收敛