嘉兴学院 课件 全微分及其应用_高等数学第八章（3）

第三节 全微分及其应用 一、全微分 二、全微分在近似计算中的应用 三、小结思考题 经济数学一微积分

一、全微分 二、全微分在近似计算中的应用 三、小结 思考题 第三节 全微分及其应用

-、全微分(perfect differential) 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+△x,y)-f(x,y) ≈f(x,y)△x f(x,y+Ay)-f(x,y)f,(x,y)Ay 二元函数 二元函数 对x和对y的偏增量 对x和对y的偏微分 (partial increment) (partial differential) 经济数学—一微积分

f (x + x, y) − f (x, y)  f x (x, y)x f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 二元函数 对 x 和对 y 的偏微分 (partial differential) 二元函数 对 x 和对 y 的偏增量 (partial increment) 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分（perfect differential)

全增量(perfect increment)的概念 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内 有定义，并设P'(x+△x,y+△y)为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差 f(x+△x,y+Ay)-f(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量△比，△y的全增 量，记为△z, 即△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 经济数学—一微积分

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y)的某邻域内 有定义，并设P(x + x, y + y)为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差 f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y 的全增 量，记为z， 即 z= f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 全增量(perfect increment)的概念

全微分的定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可以表示为 △Z=A△x+B△y+0(p),其中A,B不依赖于 △x,△y而仅与x,y有关，p=V(△x)2+(△y)2, 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分， A△x+B△y称为函数z=f(x,y)在点七，y)的 全微分，记为，即dz=A△x+B△y. 经济数学 微积分

如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全增量 z = f ( x + x, y + y) − f ( x, y)可以表示为 z = Ax + By + o( )，其中A, B不依赖于 x,y而仅与x, y有关， 2 2  = (x) + (y) ， 则称函数z = f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax + By称为函数z = f ( x, y )在点( x, y) 的 全微分，记为dz，即 dz=Ax + By . 全微分的定义

函数若在某区域D内各点处处可微分， 则称这函数在D内可微分， 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，则 函数在该点连续 事实上△z=A△x+B△y+o(p),Iim△z=0, Iimf(x+△x,y+△y)=limf(x,y)+△z 0→0 =f(x,y) 故函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续. 经济数学一微积分

函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微分, 则 函数在该点连续. 事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数z = f (x, y)在点(x, y)处连续

可微的条件 定理1（必要条件）如果函数z=f(x,y)在点 x可微分，则该函数在点川的偏导装城 必存在，且函数x=f(x,y)在点x,)的全微分 ay 为 dz= x+ ax y y 经济数学一微积分

定理 1（必要条件） 如果函数z = f ( x, y)在点 (x, y)可微分，则该函数在点(x, y) 的偏导数 x z   、 y z   必存在，且函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全微分 为 y y z x x z dz     +   = ． 可微的条件

证 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分， 对点P的某个邻域内的任意一点 P'(x+△x,y+△y),下式 △Z=A△x+B△y+O(p) 总成立， 当△y=0时，上式仍成立，此时p=△x, f(x+△，y)-f(x,y)=A·△x+o(I△x), imfx+△x,)-fx,》=A= Ox △r→0 △x Ox 同理可得B= ay 经济数学 一微积分

证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, 对 点 P 的 某 个 邻 域 内 的 任 意 一 点 P(x + x, y + y)，下式 z = Ax + By + o() 总成立, 当y = 0时，上式仍成立，此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 , x z   = 同理可得 . y z B   =

一元函数在某点的导数存在→微分存在. 多元函数的各偏导数存在早→全微分存在。 y x2+y2≠0 例如，f(x,y)= 0 x2+y2=0 在点(0,0)处有 fx(0,0)=f(0,0)=0 经济数学—一微积分

一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2      + = +  = + x y x y x y xy f x y 在点(0,0)处有 (0,0) = (0,0) = 0 x y f f

△z-[f(0,0)·△x+f,(0,0)Ay]= △x·△y △x)2+(4y)2' 如果考虑点P'(△x,△y)沿着直线y=x趋近于(0,0)， △x·△y V(A)2+(4y)2=Ax·A ，1 则 P (△x)2+(△x)22' 说明它不能随着p→0而趋于0，当p→0时， △z-Lf(0,0)·△x+f,(0,0)·△y]≠o(p), 函数在点(0,0)处不可微. 经济数学一微积分

z [ f (0,0) x f (0,0) y]  − x   + y   , ( ) ( ) 2 2 x y x y  +     = 如果考虑点P(x,y)沿着直线y = x趋近于(0,0)， 则  2 2 ( x) ( y) x y  +     2 2 ( x) ( x) x x  +     = , 21 = 说明它不能随着 → 0而趋于 0, 当  → 0 时， z [ f (0,0) x f (0,0) y] o( ),  − x   + y    函数在点(0,0)处不可微

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 定理2（充分条件)如果函数z=f(x,y)的偏 导数、在点(x,y)连续，则该函数在点七，) ay 可微分. 证△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)I +[f(x,y+△y)-f(x,y)川， 经济数学 微积分

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数z = f ( x, y)的偏 导数 x z   、 y z   在点(x, y)连续，则该函数在点(x, y) 可微分． 证 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) = [ f (x + x, y + y) − f (x, y + y)] + [ f (x, y + y) − f (x, y)]