习题课 第四章 不定积分的计算方法 一、求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分 等HIGH EDUCATION PRESS
习题课 一、 求不定积分的基本方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分 不定积分的计算方法 第四章
求不定积分的基本方法 1.直接积分法 通过简单变形，利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 2.换元积分法 ∫f(x)dx 第一类换元法 「fp】p'()d 第二类换元法 (代换：x=p(t) (注意常见的换元积分类型 等HIGH EDUCATION PRESS 功目录上页下返回结束
一、 求不定积分的基本方法 1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 (注意常见的换元积分类型) (代换: ) x =(t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.分部积分法 ∫uvdr=w [u'vdx 使用原则 1)由v易求出v; 2)∫a'vdx比∫uv'dr好求 一般经验：按“反，对，幂，指，三”的顺 序 排前者取为u,排后者取为v'. 计算格式：列表计算 》HIGH EDUCATION PRESS 周e00o⑧
3. 分部积分法 = − u v dx u v 使用原则: 1) 由 v 易求出 v ; 2) u v dx 比 好求 . 一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺 序, 排前者取为 u , 排后者取为 v . 计算格式: 列表计算 u vdx 机动 目录 上页 下页 返回 结束
多次分部积分的规律 uvn+l)dx=uvm）-「u'vmdx uy(n)-uy(n-D+ "pn-0drx =uvm -u'v(n-)+u"y(n-2)-[u"y (n-2)dx =upm）-n-)+un-2)-+(-1)12*1vdx 快速计算表格 () v(n+1-) y(n+1) (n) 特别：当u为n次多项式时，u*)=0,计算大为简便 等HIGH EDUCATION PRESS g988
u v x n d ( 1) + = u v − u v x n n d ( ) ( ) ( ) ( −1) = − n n uv u v − + u v x n d ( 1) = = u v (n) −u v (n−1) + u v (n−2) − u v x n n ( 1) d 1 ( 1) + + + − 多次分部积分的 规 律 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( −1) ( −2) = − + n n n uv u v u v u v x n d ( −2) − 快速计算表格: (k ) u (n 1 k ) v + − u u u (n) u (n+1) v (n) v (n−1) v v + − + n (−1) (n+1) u v + − 1 ( 1) n 特别: 当 u 为 n 次多项式时, 0, ( 1) = n+ u 计算大为简便
2x3 例1.求 dx 9x+4x dax a*Inadx 解：原式= 2*3* dx= 32x+22 dx 223 d() ln1+(2 arctan()* +C In2-In3 等HIGH EDUCATION PRESS 00C08 机动目录上页下页返回结束
例1. 求 解: 原式 x x x x x d 3 2 2 3 2 2 + = x x x d 1 ( ) ( ) 2 3 2 3 2 + = + = x x 2 3 2 3 2 3 2 1 ( ) d ( ) ln 1 a a a x x x d = ln d C x + − = ln 2 ln3 arctan( ) 3 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求 ln(x+v1+x)+5 dx V1+r 解： 原式=[ln(x+1+x2)+5]d[ln(x+1+x2)+5] -3nr+1+x2)+5]+C 分析： 1+)dx 2V1+x2 dx d[ln(x+V1+x2)+5]= x+v1+x2 2 V1+x2 等HIGH EDUCATION PRESS 8e00o⑧
例2. 求 解: = + + + 2 1 [ln( 1 ) 5] 2 原式 x x d [ln( 1 ) 5] 2 x + + x + 2 x + 1+ x = x x x (1 )d 2 2 1 2 + + 2 1 d x x + = 3 2 = ln( 1 ) 5 2 x + + x + 2 +C 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: d [ln( 1 ) 5] 2 x + + x +
例3.求 x+sinx dx. 1+cosx 解： x +2sin cos 原式=「 2 x 2 cos- 2 X =xdtan tan "dx 分部积分 =xtan+C 等HIGH EDUCATION PRESS 返回
例3. 求 解 : 原式 x x x x x d 2 2cos 2 cos 2 2sin 2 + = = 2 d tan x x x x d 2 tan + C x = x + 2 tan 分部积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.设y(x-y)2=x,求积分 x-3 dx 解：y(x-y)2=x 令x-y=t,即y=x-1 3 t x-y2- 而dx 22-3)di (2-1)2 2-1t2-1 =n2-1+C=n(cx-y)y2-1+C 等HIGH EDUCATION PRESS
例4. 设 解: 令 x − y = t, 求积分 即 y = x −t , 1 2 3 − = t t x , 1 2 − = t t y 而 t t t t x d ( 1) ( 3) d 2 2 2 2 − − = = 1 原式 t t t t d ( 1) ( 3) 2 2 2 2 − − 1 2 3 t − t 1 3 2 − − t t = ln (x − y) −1 +C 2 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.求 f arctanex e dx 解：原式= arctane*de-x -e arctan e*+ le-x ex lte2 dr =-e arctanex f(1+e2x)-e2x 1+e2x dx =-e arctane*+x -In(1+e2x)+C 等HIGH EDUCATION PRESS 周e00o⑧
例5. 求 解: = − x 原式 arctan e x e − d x x e arctan e − = − − + x e x e e x x d 1 2 + x x e arctan e − = − x e e e x x x d 1 (1 ) 2 2 2 + + − + x x e arctan e − = − + x e C x − ln(1+ ) + 2 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6.求∫(x3-x+2)e2dx 解：取u=x3-+2,v4=e2 )x3-x+2 3x2 6 4-) 2x 2 6e3 原式=e2[(x3-x+2)-4(3x2-)+86x-66+C =e2x(4x3-6x2+2x+7)+C ekx 说明：此法特别适用于 P(x)sin ax dx 如下类型的积分 cos ax 等HIGH EDUCATION PRESS
例6. 求 解: 取 2 3 x − x + 3 1 2 x − 6x 6 0 x e 2 x e 2 2 1 x e 2 4 1 x e 2 8 1 x e 2 16 1 + − + − x e 2 原式 = ( 2) 3 2 1 x − x + (3 1) 2 4 1 − x − 6x 8 1 + e x x x C x = (4 − 6 + 2 + 7) + 2 3 2 8 1 6 16 1 − +C x ax ax e P x k x n d cos ( ) sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 此法特别适用于 如下类型的积分: