第三节一阶微分方程在经济学中 的综合应用 一、微分方程在经济中的应用 二、小结 经济数学—一微积分
一、微分方程在经济中的应用 二、小结 第三节 一阶微分方程在经济学中 的综合应用
一、分析商品的市场价格与需求量（供 应量)之间的函数关系 例1某商品的需求量×对价格p的弹性为-pn3. 若该商品的最大需求量为1200（即p=0时，x=1200) (p的单位为元，x的单位为公斤)试求需求量×与 价格p的函数关系，并求当价格为1元时市场上对 该商品的需求量. 解由已知P. =-pIn 3 x dp 经济数学一微积分
一、分析商品的市场价格与需求量(供 应量)之间的函数关系 例 1 某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性为− pln3. 若该商品的最大需求量为 1200(即 p=0 时，x=1200) ( p 的单位为元，x 的单位为公斤)试求需求量 x 与 价 格 p 的函数关系，并求当价格为 1 元时市场上对 该商品的需求量. 解 pln 3 dp dx x p 由已知 = −
即4 =-xIn3 分离变量解此微分方程 dx=-In3dp 两边积分得 Inx=-pln3+InC .'.x=Ce-pln3 再由p=0,x=1200得，C=1200 .x=1200.3-p 当价格丸元时，市场上对该商的需求量为 x=1200.3-1=400(公斤) 经济数学一微积分
x ln 3 dp dx 即 = − 分离变量解此微分方程 dp x dx = −ln 3 两边积分得 ln x = − pln3 + lnC pln3 x Ce− = 再由p = 0, x = 1200得，C = 1200 p x − = 1200 3 1200 3 400( ) 1 1 公 斤 当价格为 元时，市场上对该商品的需求量为 = = − x
例2设某种商品，它的价格主要由供求关系决定，设 供给量S与需求量D均是依赖于价格的线性函数 S=-a+bp D=c-dp a,b,c,d为常数)， 当供求平衡时，平衡价格D=a+C, 显然当供大于 b+d 求即S>D时，则价格p下降；当求大于供即D>S 时，则价格p上升. 现若价格是时间t的函数p=p(t),在时间t时，价 格的变化率与此时刻的过剩需求量D-S成正比，即 =x(D-S),其中为大于0的常数，试求价 格p与时间t的函数关系.（设初始价格p(O)=Po) 经济数学一微积分
例 2 设某种商品，它的价格主要由供求关系决定，设 供给量 S 与需求量 D 均是依赖于价格的线性函数 (a,b,c,d为常数) D c d p S a b p = − = − + , 当供求平衡时，平衡价格 b d a c p + + = ，显然当供大于 求 即 S D时，则价格 p 下降；当求大于供即 D S 时，则价格 p 上 升. 现若价格是时间 t 的函数 p=p(t)，在时间 t 时，价 格的变化率与此时刻的过剩需求量 D-S 成正比，即 (D S) dt d p = − ，其中α 为大于 0 的常数，试求价 格 p 与时间 t 的函数关系. (设初始价格 0 p(0) = p )
解由己知中=a(D-S) a>0 dt dp-a(c-dp+a-bp)=a(a+c)-a(b+d)p dt 即p+b+dp=a(a+e) dt 其通解为p=epe咖(qt)eadt+c) 这里p(t)=a(b+d),q(t)=a(a+c) 所以p=cea(b+r+ a(atc)ea. a(b+d) 经济数学一微积分
解 (D S) dt dp 由已知 = − c dp a bp a c b d p dt dp 即 =( − + − ) =( + ) −( + ) (b d ) p (a c) dt dp 即 + + = + ( ( ) ) ( ) ( ) p e q t e dt c p t dt p t dt = + − 其通解为 这里p(t) =(b + d),q(t) =(a + c) b d t b d t b d t e e b d a c p ce α ( ) α ( ) α ( ) α( ) α( ) − + − + + + + 所 以 = + 0
=ce-a(oanatc ce-a(bd)r p b+d 由p(0)=p代入上式，得c=p-D 故所求价格p与时间t的函数关系为 p=(Po-p)e-a(bay+p 显然当→∞，p→卫，即价格趋于平衡价格 经济数学一微积分
ce p b d a c ce b d t b d t = + + + = + − ( + ) − ( + ) 由p(0) = p0代入上式，得c = p0 − p 故所求价格p与时间t的函数关系为 p p p e p b d t = − + − ( + ) 0 ( ) 显然当t →, p → p,即价格趋于平衡价格
例3（逻辑斯谛曲线）在商品销售预测中，时刻t的 销售量用x=x(t)表示，如果商品销售的增长速率 正比于销售量x(t)及与销售接近饱和水平的程 dt 度-x(t)之乘积(a为饱和水平)求销售量函数 x(t). a 解：据题意，可建立微分方程 0 0=k(0(a-xt),其中k为比例因子 dt 分离变量： dx(t) -kdt x(t)(a-x(t) 经济数学一微积分
例 3 (逻辑斯谛曲线)在商品销售预测中，时刻 t 的 销售量用 x=x(t)表示，如果商品销售的增长速率 dt dx(t)正比于销售量 x(t)及与销售接近饱和水平的程 度 − x(t)之乘积( 为饱和水平)求销售量函数 x(t). 解： 据题意，可建立微分方程 kx t x t 其 中 k为比例因子 dt dx t ( )( ( )), ( ) = − kdt x t x t dx t = ( )( − ( )) ( ) : 分离变量 0 t x a
→ [1+1 dx(t)=kdt ax(t)a-x(t) →lm(t) =kt+C1(C,为任意常数 a-x(t) → (t) =e+G=C,e(C2为任意常数) a-x(t) 从而可得通解为 x(t)= aCeak 1+C,e-1+Ce(C为任意常数 经济数学一微积分
dx t kdt x t x t = − + ( ) α ( ) 1 ( ) 1 α 1 α ( ) ( ) ( ) ln kt C1 C1 为任意常数 a x t x t = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 e 1 C e C 为任意常数 x t x t kt C kt = = − + 从而可得通解为 ( ) 1 1 ( ) 2 2 C为任意常数 C e Ce C e x t k t k t k t − + = + =
二、分析产量、收入、成本及利润之间的 函数关系 例4在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养1000 条.在时刻t的鱼数y是时间t的函数yy(t),其变化 率与鱼数y和1000-y的乘积成正比.现已知池塘内放养 鱼100条，3个月后池塘内有鱼250条，求t月后池塘 内鱼数y(t)的公式.问6个月后池塘中有鱼多少？ 由己知少=(1000-y,=100,=250 解此微分方程 经济数学 微积分
例 4 在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养 1000 条.在时刻 t 的鱼数 y 是时间 t 的函数 y=y(t)，其变化 率与鱼数 y 和 1000-y 的乘积成正比.现已知池塘内放养 鱼 100 条，3 个月后池塘内有鱼 250 条，求 t 月后池塘 内鱼数 y(t)的公式.问 6 个月后池塘中有鱼多少？ 解： (1000 ), 100, 250 0 3 = − = = t= t= ky y y y dt dy 由已知 解此微分方程 二、分析产量、收入、成本及利润之间的 函数关系
y =ce1000kr 1000-y 将y=100,3=250代入得 100 =C 1000-100 250 =Ce3000k 1000-250 解得C=。k= 9 000 即t月后鱼数与时间的函数关系为 经济数学—一微积分
kt ce y y 1000 1000 = − 将y t=0 = 100, y t=3 = 250代入得 = − = − k ce c 3000 1000 250 250 1000 100 100 3000 ln 3 , 9 1 解得C = k = 即t月后鱼数与时间的函数关系为