嘉兴学院 课件 二阶常系数线性差分方程_高等数学第十二章（8）

第八节二阶常系数线性差分方程 一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结 经济数学一微积分

一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 第八节 二阶常系数线性差分方程 三、小结

1.定义 形如yx+2+yx+1+byx=f(x) (其中a,b≠0均为常数，f(x)为已知函数) 的差分方程，称为二阶常系数线性差分方程， f(x)≠0时称为非齐次的，否则称为齐次的. yx+2+四x+1+yx=0称为相应的齐次方程. 2.解的结构定理二阶常系数线性差分方程的通解 等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个 特解即yx=+y 经济数学一微积分

1.定义 ( ) 形如yx2  ayx1  byx  f x (其中 a, b  0均为常数， f ( x)为已知函数 ) 的差分方程，称为二阶 常系数线性差分方程． f ( x)  0时称为非齐次的，否则 称为齐次的． y x  2  ay x 1  by x  0称为相应的齐次方程． 2.解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解 等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个 特解.即 .  x  x  x y y y

一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 设Y=2(2≠0)为对应齐次方程一个解，代入得 2+2+a2x1+b元x=0 即22+a+b=0 此方程称为对应齐次方程的特征方程，其根 2,=-a+a2-4 ,,=--va-46 2 2 称为相应方程的特征根. 现根据a2-4b的符号来确定其通解形式. 经济数学—微积分

一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 设Yx   x (  0)为对应齐次方程一个解 ，代入得 0 2 1    x x x  a b 0 2 即  a  b  此方程称为对应齐次方 程的特征方程 ,其根 2 4 , 2 4 2 2 2 1 a a b  a  a  b        称为相应方程的特征根 . 4 . 现根据a 2  b的符号来确定其通解形 式

(1)第一种情形a2>4b时 有两个相异的实特征根人，与元，此时的通解具有 如下形式： =A1"+A22(A1,A,为任意常数) (2)第二种情形a2=4b时 方程有两个相等的实特征根入，=元，=-， 此时 的通解具有如下形式： 反.=(4+4x-受(4,4为任意常数) 经济数学——微积分

如下形式： 有两个相异的实特征根 1与 2，此时的通解具有 ( , ) y A1 1 A2 2 A1 A2为任意常数 x x x     (2)第二种情形 a 2  4b时 的通解具有如下形式： 方程有两个相等的实特 征根 ，此时 2 1 2 a      ) ( , ) 2 ( )( 1 2 A1 A2为任意常数 a y A A x x x    (1)第一种情形 a 2  4b时

(3)第三种情形a2<4b时 方程有一对共轭的复特征根， 元=-a+iN4h-a=a+iB 1 元=-20-iv4h-a2=a-i0 把它们化为三角表示式： r=Va2+B2=√b, tan6=E=-√4h-a2 e 则a=rcos0,B=rsin0 经济数学 微积分

(3)第三种情形 a 2  4b时 方程有一对共轭的复特 征根,       a i b a i a i b a i             2 2 2 1 4 2 1 4 2 1 把它们化为三角表示式 ： a b a r b 2 2 2 4 , tan             则  r cos ,   rsin

..=r(cos0+isin),=r(cose-isine) ∴.y=入=r*(cos0+isin8) y)=*=r*(cos0-isine) 都是对应齐次方程的特解。可以证明 0+.及7.m- 也都是特解.故可得具有以下形式的通解： =r*(A cos ex+A2 sin ex) (A1,A2是任意常数) 经济数学—微积分

(cos sin ), (cos sin ) 1  r   i  2  r   i  (cos sin ) (cos sin ) 2 (2) 1 (1)       y r i y r i x x x x x x        都是对应齐次方程的特解．可以证明 ( ) 2 1 ( ) 2 1 (1) (2) (1) (2) x x x x y y i y  y 及  也都是特解．故可得具 有以下形式的通解： ( , ) ( cos sin ) 1 2 1 2 A A 是任意常数 y r A x A x x x    

二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 二阶常系数非齐次线性差分方程的通解由两项 的和组成： 一项是该方程的一个特解y, 另一项是对应的齐次差分方程的通解Y· 即差分方程（2)的通解为yx=Y.+y 经济数学——微积分

二、 二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 . x x Y y 另一项是对应的齐次差 分方程的通解 一项是该方程的一个特 解 ， 的和组成： 二阶常系数非齐次线性 差分方程的通解由两项  2 .  x  x  x 即差分方程（ ）的通解为y Y y

(1)f(x)=c(c为常数)，即方程为 y+2+心x+1+byx=C 可设其特解形式为 y=kxs. )当1+1+b≠0时，取s=0,即y=k,代入原方程得 k= 1+a+b 所求特解y= 1+a+b 经济数学 -微积分

(1) f (x)  c(c为常数),即方程为 y ay by c x2  x1  x  . s y x  kx 可设其特解形式为  i)当1 a  b  0时，取s  0，即y  x  k,代入原方程得 a b c k    1 a b c y x      1 所求特解

i)当1+a+b=0且a≠-2时，取s=1,即y=kc, 代入原方程得 k=_ +0 .此时有特解y= 2+a i)当1+a+b=0且a=-2时，取s=2,即y=x2, 此时有特解y= r2 2 经济数学—微积分

a c k   2 a cx y x     2 此时有特解 iii)当1  a  b  0且a  2时，取s  2，即y  x  kx 2 ， 2 2 1 yx  cx  ii)当1 a  b  0且a  2时,取s  1,即y  x  kx， 代入原方程得 此时有特解

例1求差分方程 yx+2-2y+1+yx=12的通解及=0，以=0 的特解。 解22+1-2=0 即(2+2)(2-1)=0 解得2=-2,22=1 .x=A（-2)+A2 .1+a+b=1+1-2=0,但a=1≠-2， =5= 经济数学——微积分

解 2 0 2      即(  2)( 1)  0 2, 1 解得1   2  1 2 y A ( 2) A x  x    1 a  b  1 1 2  0,但a  1  2, x x yx 4 1 2 12     