第四节函数的最大值和最小值 及其在经济中的应用 函数的最大值与最小值 二、经济应用问题举例 三、小结 思考题 经济数学一微积分
一、函数的最大值与最小值 二、经济应用问题举例 三、小结 思考题 第四节 函数的最大值和最小值 及其在经济中的应用
、 函数的最大值与最小值 经济问题中，经常有这样的问题，怎样才 能使“产品最多”、“用料最少”、“成本最 低”、“效益最高”等等.这样的问题在数学中 有时可归结为求某一函数（称为目标函数）的最 大值或最小值问题. 根据自变量的取值范围，分以下两种情况 讨论. 经济数学一微积分
一、函数的最大值与最小值 经济问题中，经常有这样的问题，怎样才 能使“产品最多”、“用料最少”、“成本最 低”、“效益最高”等等．这样的问题在数学中 有时可归结为求某一函数（称为目标函数）的最 大值或最小值问题． 根据自变量的取值范围，分以下两种情况 讨论．
1. 目标函数在闭区间连续 由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理 知，目标函数一定有最大值和最小值，具体求法 步骤如下： 第一步，求出有可能取得最值的点，包括 使f'(x)=0和f'(x)不存在的点，及区间端点. 第二步，计算所求出的各点的函数值，比 较其大小，选出最大值和最小值. 经济数学一微积分
1．目标函数在闭区间连续 由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理 知，目标函数一定有最大值和最小值，具体求法 步骤如下： 第一步，求出有可能取得最值的点，包括 使 f (x) = 0和 f (x)不存在的点，及区间端点． 第二步，计算所求出的各点的函数值，比 较其大小，选出最大值和最小值．
2.目标函数在开区间连续 开区间的连续函数不一定有最大、最小值。 即使有最大值、最小值，也不能用上述方法求 出.若函数满足下列两个条件： (1)f(x)在开区间有且仅有最大（小）值： (2)f(x)在开区间只有一个可能取得极值的点； 则可以断定这个极值点一定是函数的最大 (小)值点. 经济数学一微积分
2．目标函数在开区间连续 开区间的连续函数不一定有最大、最小值． 即使有最大值、最小值，也不能用上述方法求 出．若函数满足下列两个条件： （1） f (x)在开区间有且仅有最大（小）值； （2） f (x)在开区间只有一个可能取得极值的点； 则可以断定这个极值点一定是函数的最大 （小）值点．
二、经济应用问题举例 1.最大利润问题 在经济学中，总收入和总成本都可以表 示为产量Q的函数，分别记(Q)和C(Q), 则总利润(Q)可表示为L(Q)=R(2)-C(2) 为使总利润最大，须淇一阶导数等于 零， 即L(O_dR2)-C(O)-0 do do 经济数学一微积分
1.最大利润问题 二、经济应用问题举例 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L Q L Q R Q C Q Q R Q C Q 则总利润 可表示为 = − 示为产量 的函数，分别记为 和 ， 在经济学中，总收入和总成本都可以表 0 ( ) ( ) ( ) = − = dQ d R Q C Q dQ dL Q 零，即 为使总利润最大，须令其一阶导数等于
dR(2)_dC(2) do do 2)表示边际收益，CO)表示边际成本 do do 显然，为使总利润达到最大，还应有 d2[R2)-C2)<0,(R"(2)-C"(O)<) do2 即产R@》<4,(R'o<c'oy do" do" 经济数学 一微积分
dQ dC Q dQ dR(Q) ( ) = 表示边际收益， 表示边际成本 dQ dC Q dQ dR(Q) ( ) 显然，为使总利润达到最大，还应有 0,( ( ) ( ) 0) ( ) ( ) 2 2 − − R Q C Q dQ d R Q C Q ,( ( ) ( )) ( ( )) ( ) 2 2 2 2 R Q C Q dQ d C Q dQ d R Q 即
例1某厂每批生产A商品X台的费用为C(X)=5X+200(万 元)，得到的收入为R(X)=10X-0.01X2(万元)，问每批生 产多少台，才能使利润最大？ 解：设利润为L(X),则 L(X)=R(X)-C(X)=5X-0.01X2-200 L'(X)=5-0.02X 令L'(X)=0,解得X=250(台)，由于 L"(X)=-0.02<0 所以L(250)=425(万元为极大值，也就是最植， 经济数学—一微积分
例 1 某厂每批生产 A 商品 X 台的费用为C(X ) = 5X + 200(万 元)，得到的收入为 2 R(X ) = 10X − 0.01X (万元)，问每批生 产多少台，才能使利润最大？ 解： 设利润为L(X),则 ( ) ( ) ( ) 5 0.01 200 2 L X = R X −C X = X − X − L(X) = 5 − 0.02X 令L(X) = 0，解得X = 250(台)，由于 L(X) = −0.02 0 所以L(250) = 425(万元)为极大值，也就是最大值
例2设某厂的成本函数为C(Q)=Q+bQ+C,需求函数 为2=(d-P)/e,其中C()为成本，2为需求量产量，P为 价格，a,b,c,d,e均为正常数，且d>b,求利润最大时的产 量及最大利润 解：由2=(d-p)/e,得P=d-e2,故得收益函数 R(2)=2·P=2(d-e2) 利润函数为 L(2)=R(2)-C(Q) =(d-b)2-(e+)g2-C 经济数学—一微积分
例 2 设某厂的成本函数为C Q = aQ + bQ + C 2 ( ) ，需求函数 为Q = (d − P)/ e，其中C(Q)为成本，Q 为需求量产量，P 为 价格，a,b,c,d,e 均为正常数，且 d>b，求利润最大时的产 量及最大利润. 解： 由Q = (d − p)/ e,得P = d − eQ,故得收益函数 R(Q) = Q P = Q(d − eQ) 利润函数为d b Q e a Q C L Q R Q C Q = − − + − = − 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
L'(Q)=(d-b)-2(e+a)2 由L'(2)=0, 得唯一驻点2，=(d-b)/2(e+a) 又L"=-2(e+)<0,故 2=2=(d-b)/2(e+a) 时利润最大最大值为 L(2)=L(a-b)/2(e+a] =【d-b)2/4e+a-c 经济数学 微积分
L(Q) = (d − b) − 2(e + a)Q ( )/ 2( ) ( ) 0 Q0 d b e a L Q = − + = 得唯一驻点 由 ， 又L = −2(e + a) 0,故 时利润最大,最大值为 ( )/ 2( ) Q = Q0 = d − b e + a d b e a c L Q L a b e a = − + − = − + ( ) / 4( ) ( ) ( )/ 2( ) 2 0
例3假设某种商品的需求量是单价P(单位：元)的函数： 2=12000-80P;商品的总成本C是需求量的函数： C=25000+500,每单位商品需纳税2元，试求使销售利润 最大的商品价格和最大利润. 解L=(12000-80P)(P-2)-(25000+502) =-80P2+16160P-649000 L'(P)=-160P+16160 令L'(P)=0得P=101且是唯一极值点， 又因L"(101)=-160<0,故当P=101元时， L(P)有最大值，且最大值 L(101)=167080(元) 经济数学一微积分
例 3 假设某种商品的需求量Q 是单价P (单位:元)的函数： Q = 12000 − 8 0 P ；商品的总成本C 是需求量的函数： C = 25000 + 5 0Q ，每单位商品需纳税 2 元，试求使销售利润 最大的商品价格和最大利润. 解 L = (12000− 80P)(P − 2) −(25000+ 50Q) 80 16160 649000 2 = − P + P − L(P) = −160P +16160 令L(P) = 0得P = 101且是唯一极值点， 又因L(101) = −160 0,故当P = 101元时， (101) 167080( ) ( ) 元 有最大值，且最大值为 L = L P