第二节 函数的极限 一、函数极限的定义 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函 数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定 的数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。 下面，我们将主要研究以下两种情形： ()自变量x任意接近于有限值x(x→ x),对应的函数值f(x)的变化情形： (2)自变量x的绝对值x无限增大(x→ o),对应的函数值f(x)的变化情形； 经济数学一微积分
一、函数极限的定义 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函 数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定 的数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。 下面，我们将主要研究以下两种情形： 对应的函数值 的变化情形； 自变量 任意接近于有限值 ) , ( ) (1) ( 0 0 x f x x x x → 对应的函数值 的变化情形； 自变量 的绝对值 无限增大 ) , ( ) (2) ( f x x x x → 第二节 函数的极限
1.自变量趋于有限值时函数的极限 问题：函数y=f(x)在x→x的过程中，对应 函数值f(x)无限趋近于确定值A, f(x)-A<ε表示f(x)-A任意小y 0<x-x<6表示x→的过程. Xo xo+8 点x的去心6邻域， 体现x接近x,程度. 经济数学 微积分
1.自变量趋于有限值时函数的极限 问 题:函 数 y = f ( x)在 x → x0的过程中,对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A 表示 f (x) − A任意小; 0 . x − x0 表示x → x0的过程 x0 − x0 + x x0 , 点x0的去心邻域 . 体现x接近x0程度
①定义1设函数f(x)在点x,的某一去心邻域 内有定义，对于任意给定的正数8（不论它多么 小)，总存在正数δ，使得当x满足不等式 00,8>0，使当0<x-x,<δ时， 恒有f(x)-A<e. 经济数学 微积分
①定义 1 设函数 f (x) 在点 0 x 的某一去心邻域 内有定义，对于任意给定的正数 (不论它多么 小) ,总存在正数 ,使得当 x 满足不等式 − 0 x x0 时，对应的函数值 f (x) 都满足 不等式 f ( x) − A ,那么常数 A就叫函数 f (x)当 x → x0 时的极限,记作 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 " − "定义 ( ) . 0, 0, 0 , 0 − − f x A x x 恒有 使当 时
注意：1.函数极限与f(x)在点x是否有定义无关； 2.δ与任意给定的正数ε有关. ②几何解释： 当x在x的去心6邻 y=f(x +8 域时，函数y=f(x) A 图形完全落在以直 线y=A为中心线， 宽为2e的带形区域内. 01 x+ 显然，并不唯一，也不需要取到最大的δ： 经济数学一微积分
②几何解释: y = f (x) A− A+ A x0 − x0 x0 + x y 2 . o , , ( ) 0 宽为 的带形区域内 线 为中心线 图形完全落在以直 域时 函数 当 在 的去心 邻 y A y f x x x = = 注意： 1. ( ) ; 函数极限与f x 在点x0是否有定义无关 2.与任意给定的正数有关. 显然,并不唯一,也不需要取到最大的
例2证明imC=C,(C为常数)， →x 证任给ε>0，任取8>0，当00，取8=8， 当0<x-x<δ=时， f(x)-A=x-x<ε成立，.limx=xo: x→x0 经济数学 一微积分
例 2 lim , ( ). 0 证明 C C C为常数 x x = → 证 f ( x ) − A = C − C 成立 , 任给 0 , = 0 lim . 0 C C x x = → 任取 0 , 0 , 当 x − x0 时 例 3 lim . 0 0 x x x x = → 证明 证 ( ) , x A x x0 f − = − 任给 0 , 取 = , 0 , 当 x − x0 = 时0 f (x) − A = x − x 成立, lim . 0 0 x x x x = →
x2-1 例4 证明im =2 x→1x-1 证 函数在点=1处没有定义. f(x)-A= x2-1-2=x-1 x-1 任给ε>0， 要使f(x)-A<8, 只要取δ=8， 当0<K-x<时，就有-12<， x-1 x2-1 .'lim =2. x1x-1 经济数学—一微积分
例4 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 证明 证 2 1 1 ( ) 2 − − − − = x x f x A 任给 0, 只要取 = , 0 , 当 x − x0 时 函数在点x=1处没有定义. = x − 1 要使 f (x) − A , 2 , 1 1 2 − − − x x 就有 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x
例5证明：当x,>0时，limx=√x,· x→X0 证f(x)-A=Wx-Vx0= x+xoxo 任给ε>0，要使fx)-A<e, 只要x-x,<x且不取负值.取δ=min{x,Vx, 当0<x-x<δ时，就有Wx-√x0<, .limx=√x. x→x0 经济数学一微积分
例 5 lim . 0 0 x x x x = → 证 0 f (x) − A = x − x 任给 0 , min{ , }, 0 0 取 = x x 0 , 当 x − x0 时 0 0 x x x x +− = 要使 f (x) − A , , 0 就有 x − x , 0 0 x x − x . 只要 x − x0 x0 且不取负值 : 0 , lim . 0 0 0 x x x x x = → 证明 当 时
3.单侧极限(one-sided limi0): 例如， y=1 [1-x, x0和x<0两种情况分别讨论 x从左侧无限趋近x,记作x→x; x从右侧无限趋近x,记作x→x,; 经济数学一微积分 Oo O
3.单侧极限(one-sided limit): 例如, lim ( ) 1. 1, 0 1 , 0 ( ) 0 2 = + − = → f x x x x x f x x 证明 设 分x 0和x 0两种情况分别讨论 , x从左侧无限趋近x0 ; 0 − 记作x → x , x从右侧无限趋近x0 ; 0 + 记作x → x y o x 1 y = 1 − x 1 2 y = x +
左极限 ε>0,6>0，使当x-80,36>0,使当x,<x<x+时， 恒有f(x)-A<&.(right--hand limit) 记作Iimf(x)=A或f(x,)=A. 注意：{x0<x-x<δ} ={x0<x-x<δ}U{x-δ<x-x,<0} 经济数学—一微积分
左极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x A x x x 恒有 使当 时 右极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − + f x A x x x 恒有 使当 时 { 0 } { 0} :{ 0 } 0 0 0 = − − − − x x x x x x x x x 注 意 lim ( ) ( ) . 0 0 f x A f x A x x = = − 记作 → − 或 lim ( ) ( ) . 0 0 f x A f x A x x = = + 记作 → + 或 (right-hand limit) (left-hand limit)
定理：limf(x)=A台f(x,)=f(x,)=A. 例6验证im上不存在， x→0C lim=lim二x 证 x→0Xx-→0X =lim(-1)=-1 x→0 lim=lim*lim1=1 x→0+Xx→0+Xx→0+ 左右极限存在但不相等，∴.imf(x)不存在， x→0 经济数学一微积分
: lim ( ) ( ) ( ) . 0 0 0 f x A f x f x A x x = = = − + → 定理 lim . 0 验证 不存在 x x x→ y x 1 − 1 o x x x x x x − = → − → − 0 0 lim lim 左右极限存在但不相等, lim ( ) . 0 f x 不存在 x→ 例6 证 lim( 1) 1 0 = − = − → − x x x x x x x → + → + = 0 0 lim lim lim 1 1 0 = = → + x