第六节 第十一章 品款项级款的一玫收敛性 及一数收敛级款的基李性质 一、函数项级数的一致收敛性 二、 一致收敛级数的基本性质 等HIGH EDUCATION PRESS 目最上页下页返回结
函数项级数的一致收敛性 *第六节 一、函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质 二、一致收敛级数的基本性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章
一、函数项级数的一致收敛性 幂级数在收敛域内的性质类似于多项式，但一般函数 项级数则不一定有这么好的特点 例如，级数 x+(x2-x)+(x3-x2)+…+(x”-xn-1)+… 每项在[0,1]上都连续，其前n项之和为Sn(x)=x” 和函数S(x)=1imSn(x)= 0, 0≤x<1 n→o0 1 x=1 该和函数在x=1间断 等HIGH EDUCATION PRESS 周f0008
一、函数项级数的一致收敛性 幂级数在收敛域内的性质类似于多项式, 但一般函数 项级数则不一定有这么好的特点. 例如, 级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 每项在 [0,1] 上都连续, 其前 n 项之和为 ( ) , n n S x = x 和函数 = = → S(x) lim S (x) n n 0, 0 x 1 1, x =1 该和函数在 x＝1 间断. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
sinx,sin22x 又如，函数项级数 十十 因为对任意x都有 (n=1,2,…) 2 所以它的收敛域为(-oo,+o)， 但逐项求导后的级数 cosx+cos 22x+...+cosn2x+... 其一般项不趋于0，所以对任意x都发散 问题：对什么样的函数项级数才有 逐项连续→和函数连续 逐项求导=和函数求导；逐项积分=和函数积分 等HIGH EDUCATION PRESS 周8g8
因为对任意 x 都有: ( 1,2, ) sin 1 2 2 2 n = n n n x 所以它的收敛域为 (－∞, +∞) , 但逐项求导后的级数 cos x + cos 2 2 x ++ cos n 2 x + 其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 . 又如, 函数项级数 问题: 对什么样的函数项级数才有: 逐项连续 和函数连续; 逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束
00 定义.设S为∑4(x)在区间1上的和函数若对 n=]1 任意给定的>0，都有一个只依赖于ε的自然数N,使 当n>N时，对区间I上的一切x都有 in(x)=S(x)-Sn(x)<s 则称该级数在区间I上一致收敛于和函数Sx) 显然，在区间1上 ∑4n(x)一致收敛于和函数s) n=l 部分和序列S,(x)一致收敛于Sx) 余项n(x)一致收敛于0 等HIGH EDUCATION PRESS 黑8”98
定义. 设 S(x) 为 ( ) 1 u x n n = 若对 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有 r (x) = S(x) − S (x) n n 则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 在区间 I 上的和函数, 任意给定的 > 0, 显然, 在区间 I 上 ( ) 1 u x n n = 一致收敛于和函数S(x) 部分和序列 S (x) n 一致收敛于S(x) 余项 r (x) n 一致收敛于 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
几何解释：（如图） Vε>0,3N∈Z+,当n>N时，S(x)-Sn(x)<e表示 曲线y=Sn(x)总位于曲线y=S(x)-与y=S(x)+E 之间 y=S(x)+8 y=S(x) y=Sn(x) y=S(x)-8 等HIGH EDUCATION PRESS 周f0008
几何解释 : (如图) y = S(x) + y = S(x) − I x y = S(x) 0, , + N Z 当n > N 时, S(x) − Sn (x) 表示 曲线 总位于曲线 y = S(x) −与y = S(x) + y S (x) = n y S (x) = n 之间. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.研究级数 1 十··十 (x+1)(x+2)(x+2)(x+3) (x+n)(x+n+1) 在区间[0，+o)上的收敛性 1 1 解： (x+k)(x+k+1)x+k x+k+1 (k=1,2,) 11 ∴.Sn(x)=(,-)+ x+1x+2 x+2x+3 x+n x+n+ x+1x+n+1 等HIGH EDUCATION PRESS
例1. 研究级数 + + + + + + + + + + + ( )( 1) 1 ( 2)( 3) 1 ( 1)( 2) 1 x x x x x n x n 在区间 [0, +∞) 上的收敛性. 解: 1 1 1 ( )( 1) 1 + + − + = x + k x + k + x k x k (k =1,2, ) + + − + + + − + = ) 3 1 2 1 ) ( 2 1 1 1 ( ) ( x x x x S x n ) 1 1 1 ( + + − + + x n x n 1 1 1 1 + + − + = x x n 机动 目录 上页 下页 返回 结束
S()=lim S,(x)lim (1 1)=1 n-→oo n→∞x+1x+n+1x+1 (0≤x0，取自然数N=[。-1],则当n>N时有 n(x)<E(0≤x<+o) 这说明级数在[0，+0)上一致收敛于S)= x+1 等HIGH EDUCATION PRESS ®90008 机动目录上页下页返回结束
S(x) lim S (x) n n→ = ) 1 1 1 1 lim ( + + − + = n→ x x n 1 1 + = x (0 x +) 余项的绝对值: r (x) S(x) S (x) n = − n 1 1 + + = x n 1 1 + n (0 x +) 因此, 任给 > 0, 取自然数 1, 1 = − N 则当n > N 时有 r (x) (0 x +) n 这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 . 1 1 ( ) + = x S x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.证明级数 x+(x2-x)+(x3-x2)++(x”-x-)+… 在[0,1]上不一致收敛 证：Sn(x)=x+(x2-x)++(x”-xn-1)=xn 0,0≤x，因此级数在0,1]上不 一致收敛 等HIGH EDUCATION PRESS 周e000⑧
例2. 证明级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 在 [0,1] 上不一致收敛 . 证: n n n n S x = x + x − x + + x − x = x − ( ) ( ) ( ) 2 1 S(x) = 0, 0 x 1 1, x =1 rn (x) = S(x) − Sn (x) = , 0 x 1 n − x 0, x =1 取正数 , 2 1 对无论多么大的正数 N , ( ) , 1 1 2 1 0 + = N 取 x [0,1], x0 ( ) , 2 1 1 0 = + r x 而 N 因此级数在 [0, 1] 上不 一致收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Sn(x)=x” 0, 0≤x0，欲使 r”lns ,因此取N三 n 只要n>N, 必有7n(x)<”<6,即级数在[0，r]上一致收敛 等HIGH EDUCATION PRESS
y o x 说明: 1 n =1 n n S (x) = x S(x) = 0, 0 x 1 1, x =1 n = 2 n = 4 n =10 n = 30 (1,1) S(x) 对任意正数 r 0, 欲使 , n r 只要 , ln ln r n 因此取 , ln ln = r N 只要 n N, ( ) , n n 必有 r x r 即级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时，需求出 Sn(x)及S(x),这往往比较困难下面介绍一个较方便的 判别法 维尔斯特拉斯Weierstrass)判别法 0 若函数项级数4n(x)在区间1上满足 n=1 1)un(x)≤an (n=1,2, 2)正项级数∑an收敛， n=l 则函数项级数∑4n(x)在区间I上一致收敛 n=l 等HIGH EDUCATION PRESS O0O
维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法 用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出 S (x) S(x), n 及 这往往比较困难. 下面介绍一个较方便的 判别法. 若函数项级数 ( ) 1 u x n n = 在区间 I 上满足: 1) u (x) a (n =1, 2, ); n n 2) , 1 正项级数 n 收敛 n a = 则函数项级数 ( ) 1 u x n n = 在区间 I 上一致收敛 . 简介 目录 上页 下页 返回 结束