第之节 第十二章 可降阶高阶微分方程 一、ym=f(x)型的微分方程 二、y”=f(x,y)型的微分方程 三、y”=f(y,y)型的微分方程 》HIGH EDUCATION PRESS 动目最上页下页返回结砖
可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六节 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第十二章
一、ym=f(x)型的微分方程 令：=ym-》,则=y0=,因此 dx :=∫f(x)dx+C 即 ym-D=∫f(x)dr+C 同理可得 y-2)=[[ff(x)dx+Ci ldx+C2 [[ff(x)dx ]dx +Cx+C2 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解 音HIGH EDUCATION PRESS 周e000⑧
一、 ( ) ( ) y f x n = 令 , ( −1) = n z y 因此 d 1 z = f (x) x +C 即 同理可得 2 ( 2) y dx C n = + − dx = 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 +C x + 型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求解ym=e2x-cosx 解：y=(e2x-cosx)dx+C =1e2x -sinx+Ci 2 =2+c0sx+Cix+C2 y=- +sinx +Cx+C2x+C3 (此处G=5G) 等HIGH EDUCATION PRESS
例1. 解: ( ) 1 2 y e cos x dx C x = − + 1 2 sin 2 1 e x C x = − + x y e 2 4 1 = x y e 2 8 1 = + sin x 2 1 +C x 2 C3 +C x + + cos x 1 C2 +C x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线 运动，设力F仅是时间t的函数：F=F().在开始时刻 1=0时F(O)=F,随着时间的增大，此力F均匀地减 小，直到1=T时F(T)=0.如果开始时质点在原点，且 初初速度为0，求质点的运动规律 解：据题意有 d2x ≥=(=0(1 m m x10=0, dx dr17=00 对方程两边积分，得 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目最上页下页返回结砖
例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 t F o T F0 F = (1 ) 0 T t m F = − (1 ) 0 T t F − t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 初初速度为0, 求质点的运动规律. 且 对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
x(- dt m 7)+C 2T 利用初始条件：-0得C,=0于是 dx _Fo(t- dt m T Fo t 3 两边再积分得x= )+C2 m2 6T 再利用x=0=0得C2=0,故所求质点运动规律为 (2- 3 X= 2m 3T 考HIGH EDUCATION PRESS
1 2 0 ) 2 ( d d C T t t m F t x = − + 利用初始条件 0, 得C1 = 于是 ) 2 ( d d 2 0 T t t m F t x = − 两边再积分得 2 2 3 0 ) 2 6 ( C T t t m F x = − + 再利用 0, 得 C2 = 故所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 3 0 2 T t t m F x = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、y=f(x,y)型的微分方程 设y'=p(x),则y”=p',原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为 p=(x,C) 则得 y'=p(x,C1) 再一次积分，得原方程的通解 y=o(x,C1)dx+C2 等HIGH EDUCATION PRESS
y = f (x, y ) 型的微分方程 设 y = p(x) , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p = x 则得 ( , ) C1 y = x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y = (x,C ) x +C 二、 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求解 (1+x2)y"=2xy yx=0=1,yx=0=3 解：设y=p(x),则y”=p,代入方程得 (1+x2)p'=2xp 分离变量dp_2xdr p(1+x2) 积分得1np=ln(1+x2)+lnC,即p=C1(1+x2) 利用yx=0=3,得C1=3,于是有y'=3(1+x) 两端再积分得y=x3+3x+C2 利用yx=0=1,得C2=1,因此所求特解为 y=x3+3x+1 等HIGH EDUCATION PRESS 90C08 机动目录上页下页返回结
例3. 求解 (1+ x )y = 2xy 2 1, y x =0 = 3 y x =0 = 解: 代入方程得 (1 x )p 2xp 2 + = 分离变量 积分得 ln ln(1 ) ln , 1 2 p = + x + C 3 , 利用 y x =0 = 3, 得 C1 = 于是有 3(1 ) 2 y = + x 两端再积分得 2 3 y = x + 3x +C 利用 1, y x =0 = 1, 得 C2 = 3 1 3 y = x + x + 因此所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.设有一均匀，柔软的绳索，两端固定，绳索仅受 重力作用而下垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲线？ 解：取坐标系如图.考察最低点A到 任意点M(x,y)弧段的受力情况： A点受水平张力H M人 M点受切向张力T 弧段重力大小Pgs(p:密度，s:弧长) pgs 按静力平衡条件，有Tcos0=H,Tsin0=pgs 两式相除得 tanL=s(其中a=) 故有 y=1+y2dx→y=1+y2 a J0 a 音HIGH EDUCATION PRESS
例4. 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 弧段重力大小 ( : 密度, s :弧长) 按静力平衡条件, 有 M gs o y x ( ) g H a 其中 = y y x x 1 d 0 2 + a 1 故有 = 2 1 1 y a y = + 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 H A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设OA=a,则得定解问题 ∫y=1+y2 悬链线 M yx=0=a,y'x=0=0 令y=p,则y=dP,原方程化为 "pgs dx dp 1 ⊙ dx 1+p2 a Arsh p=In(p+v1+p 两端积盼得Arsh p=云+C,由yx-0=0得C=0, 则有 y=sha 两端积分得y=ach。+C2,由yx0=a,得C2=0 故所求绳索的形状为y=achx=只(e名+e么) a 等HIGH EDUCATION PRESS 黑98
M gs o y x H A 1 2 y 1 y a = + 设 OA = a, 则得定解问题: 令 y = p(x), , d d x p 则 y = 原方程化为 两端积分得 Arsh ln( 1 ) 2 p = p + + p Arsh , p a C1 x = + 0, 得C1 = 则有 两端积分得 得C2 = 0 故所求绳索的形状为 a x y = a ch ( ) 2 a x a x e e a − = + 悬 链 线 a 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、y”=f(y,y)型的微分方程 令y=p,则y=d2=d2.d少=ndp =D dx dy dxdy 故方程化为 p=f(y,P) p d 设其通解为p=p(y,C),即得 y'=p(y,C) 分离变量后积分，得原方程的通解 dy =x+C2 p(y,C) 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、 y = f (y, y ) 型的微分方程 令 y = p( y), x p y d d 则 = x y y p d d d d = 故方程化为 设其通解为 ( , ), C1 p= y 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束