第二节 第十章 对业标的曲线积分 一、 对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、 两类曲线积分之间的联系 等HIGH EDUCATION PRESS 4
第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1.引例：变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 F(x,y)=(P(x,y),O(x,y)) 在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移 动过程中变力所作的功W 解决办法 变力沿直线所作的功 “大化小” W FABcos0 “常代变” F.AB “近似和” B 取极限 等HIGH EDUCATION PRESS 黑f8
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, A B L x y 求移 W = F AB cos “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. A = F AB B F F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1)“大化 小” 艳L分成n个小弧段，F沿Mk-1M 所做的功为△W,则 F(5k,k） W=∑Am k= 2)“常代变” 有向小弧段MM用有向线段Mk-1M:=(△xk,△y)》 近似代替，在MM:上任取一点(5k,k),则有 △W≈F5,)M-1M =P(5k,7k)△xk+Q(5,7k)△y 》HIGH EDUCATION PRESS /—周金0008
Mk−1 Mk A B x y 1) “大化 小”. 2) “常代变” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 k k k k = P( , )x + Q( , )y k k 所做的功为 F 沿 Wk F k Mk 1Mk ( , ) − k ( , ) F k k = = n k W Wk 1 则 用有向线段 在 上任取一点 k y k x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3)近似和” W≈∑[P(5,k)△xk+Q5k,7)△yk] k=1 4)取极限” W lim ∑[P飞k,kxk+QGk,ky] 入→0 k=1 (其中2为n个小弧段的 F(Ek>nk 最大长度) 等HIGH EDUCATION PRESS
3) “近似和” 4) “取极限” = n k W 1 k k k k k k P( , )x + Q(ξ , )y = → = n k W 1 0 lim k k k k k k P(ξ , η )Δx + Q(ξ , η )Δy Mk−1 Mk A B x y L ( , ) F k k k y k x (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑 弧，在L上定义了一个向量函数 F(x,y)=(P(x,y),O(x,y)) 若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点，极限 lim P(k 7)Axk+2(5k 7k)AYA] →>0 k=1 记作 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 都存在，则称此极限为函数F(x,y)在有向曲线弧L上 对坐标的曲线积分，或第二类曲线积分.其中，P(x,y), Q(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段或积分曲线。 等HIGH EDUCATION PRESS 090008 机动目录上页下页返回结束
2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, + L P(x, y)dx Q(x, y)dy k k k P( , )x k k k + Q( , )y = n k 1 0 lim → 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P(x,ydx=lim∑P(5,n)△xk, 20k=1 称为对x的曲线积分， n (xy)dy=lim ()y, 元→0k1 称为对y的曲线积分 若记ds=(dx,dy),对坐标的曲线积分也可写作 F.ds=Pxx+O 类似地，若T为空间曲线弧，记ds=(dx,dy,d) F(x.y,=)=(P(x.y,=),Q(x,y,=),R(x.y)) [F.ds=Px+dy+Rd= 湾HIGH EDUCATION PRESS 周f0008
L P(x, y)dx lim ( , ) , 1 0 → = = n k k k k P x L Q(x, y)dy lim ( , ) , 1 0 → = = n k k k k Q y 若 为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 d s = (d x, dy) , 对坐标的曲线积分也可写作 = + L L F d s P(x, y)dx Q(x, y)dy F(x, y,z) = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)) 类似地, d s = (d x, dy , dz) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.性质 (1)若L可分成k条有向光滑曲线弧L,(i=1,…,k), 则JP(x,yx+O(x,ydy P(x,y)dx+2(x,y)dy (2)用L·表示L的反向弧，则 JP(x,ar+Q(x,iy=-」 P(x,y)dx+O(x,y)dy 说明： ·对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向！ 定积分是第二类曲线积分的特例 等HIGH EDUCATION PRESS
3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 + L P(x, y)dx Q(x, y)dy = = + k i Li P x y x Q x y y 1 ( , )d ( , )d (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 = − + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 则 • 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对坐标的曲线积分的计算法 定理：设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且 连续，L的参数方程为 x=()1:a→B,则曲线积分 y=v(t) 存在，且有 P()dx+()dy -(PI.v+.O)dr 证明：下面先证 S,P.ix=[Pwdr 等HIGH EDUCATION PRESS 9008 机动目录上页下页返回结束
二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 = = ( ) ( ) y t x t t : → , 则曲线积分 = P[ (t), (t)](t)+ Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 证明: 下面先证 P[ (t), (t)] dt = (t) 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
根据定义∫P(x,=1m∑P5,n,)Ax 2→0 =1 设分点x,对应参数1，点(5，)对应参数x,由于 △x,=x,-x,-1=p(t,)-p(t-)=0'()△t ∴JP(x,y)dx=lim∑P[o(c,),y(a,】p'(x), 2-→0 i= 因为L为光滑弧，所以p(t)连续 =1im∑P[p(z,),y(t,】p'(x,), 1→01 =2rio0.w0o'oa 同理可证 e(xyiy=o[o0,wowod1 ◆HIGH EDUCATION PRESS 周f008
设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i 由于 i = i − i−1 x x x ( ) ( ) = i − i−1 t t i i =()t P[ (t), (t)] dt = → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )] i i ()t → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )] i i ( )t (t) → = = n i i i i P x 1 0 lim ( , ) 对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 Q[ (t), (t)] d t = (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别是，如果L的方程为y=w(x),x:a-→b,则 P(dx+()dy (Pxw(wdx x=中(t) 对控间光滑曲线弧T:{y=w(0t:a→B,类似有 z=0(t) JrP(x,y,z)dx+Q(x.y,z)dy+R(x.y,z)dz =2(PIo0,v0,oo】oo) +0[(t),w(t),@(t)]w'(t) +R[p(t),w(t),o(t)]o'(t)}d1 等HIGH EDUCATION PRESS 盟80P08
特别是, 如果 L 的方程为 y = (x), x : a →b, 则 P x x Q x x x b a [ , ( )] [ , ( )] d = + (x) 对空间光滑曲线弧 : 类似有 = (t) (t) (t) P[ (t), (t), (t)] : , ( ) ( ) ( ) → = = = t z t y t x t 定理 目录 上页 下页 返回 结束