习题课 第二章 导数与微分 一、导数和微分的概念及应用 二、 导数和微分的求法 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
习题课 一、 导数和微分的概念及应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 导数和微分的求法 导数与微分 第二章
一、 导数和微分的概念及应用 ·导数：f'(x)=1im f(x+△x)-f(x) △x>0 △x 当△x→0+时，为右导数(x) 当△x→0时，为左导数'(x) ·微分df(x)=f"(x)dx ·关系：可导一 可微（思考P124题1） 考HIGH EDUCATION PRESS 周e00o⑧
一、 导数和微分的概念及应用 • 导数 : 当 时,为右导数 当 时,为左导数 • 微分 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 • 关系 : 可导 可微 ( 思考 P124 题1 )
·应用 (1)利用导数定义解决的问题 1)推出三个最基本的导数公式及求导法则 (C)'=0;(Inx)'=;(sinx)'=cosx 其他求导公式都可由它们及求导法则推出： 2)求分段函数在分界点处的导数，及某些特殊 函数在特殊点处的导数 3)由导数定义证明一些命题 (2)用导数定义求极限 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用 等HIGH EDUCATION PRESS 周880o8
• 应用 : (1) 利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用 (2)用导数定义求极限 1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则 C x x x x ( ) 0; (ln ) ; (sin ) cos 1 = = = 其他求导公式都可由它们及求导法则推出; 2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设f'(xo)存在，求 lim f(x0+△x+(△x)-f(xo) Ax-→0 △x 解： 原式=lim f(x+△x+(△x))-f(x)△x+(△x)2 Ar→0 △x+(△x)i △x f"(xo) 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1.设 ( ) 0 f x 存在,求 . ( ( ) ) ( ) lim 0 2 0 0 x f x x x f x x + + − → 解: 原式= + + − → x f x x x f x x ( ( ) ) ( ) lim 0 2 0 0 2 x + (x) 2 x + (x) ( ) 0 = f x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.若f(1)=0且f"(1)存在，求1im f(sin2x+cosx) x→0 (e*-1)tanx 解：原式=1imf6n2x+cosx) x→0 x lim(sin2 x+cosx)=1 f(1)=0 x→0 联想到凑导数的定义式 lim f(1+sin2x+cosx-1)-f(1)sin2x+cosx-1 x→0 sin-x+cos x-1 -0-q-9-3ro 考HIGH EDUCATION PRESS
例2.若 f (1) = 0 且 f (1) 存在 , 求 . ( 1)tan (sin cos ) lim 2 0 e x f x x x x − + → 解: 原式 = 2 2 0 (sin cos ) lim x f x x x + → 且 联想到凑导数的定义式 2 2 0 (1 sin cos 1) lim x f x x x + + − = → sin cos 1 2 x + x − sin cos 1 2 − f (1) x + x − = f (1) ) 2 1 (1− (1) 2 1 = f 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.设f()在x=2处连续且1im( =3 x→2X-2 求f'(2) 解：f2)=1if(x)=1imx-2):/ 1=0 X→2 x→2 (x-2) f'(2)=1im f(x)-f(2) X→2 x-2 =lim f(x)=3 x→2x-2 思考：P124题2 等HIGH EDUCATION PRESS
例3.设 f (x) 在 x = 2 处连续,且 3, 2 ( ) lim 2 = → x − f x x 求 f (2). 解: f (2) = lim ( ) 2 f x x→ ] ( 2) ( ) lim[( 2) 2 − = − → x f x x x = 0 2 ( ) (2) (2) lim 2 − − = → x f x f f x 2 ( ) lim 2 − = → x f x x = 3 思考 : P124 题2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.设f(x)=1im x2e"(xD+ax+b n-→00 e"(x-1)+1 试确定常数a,b使fx)处处可导，并求f'(x) ax+b, x1 x1时，f'(x)=2x. 利用f(x)在x=1处可导，得 f(1Γ)=f(1)=f() a+b=1=(a+b+1) 即 f'(I)=f4() a=2 等HIGH EDUCATION PRESS 090C08 机动目录上页下页返回结束
例4.设 试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求 解: f (x) = ax + b , x 1 ( 1), x =1 2 1 a+ b + , x 1 2 x x 1时, f (x) = a; x 1时，f (x) = 2x. f (1 ) = f (1 ) = f (1) − + (1) (1) − + f = f 利用 f (x)在 x =1处可导， 得 即 a +b =1 ( 1) 2 1 = a + b + a = 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
ax+b, x1 x1时，f'(x)=2x .a=2,b=-12 f'(1)=2 2 x≤1 f'(x) 2x,x>1 判别：f'(x)是否为连续函数？ 考HIGH EDUCATION PRESS 周e000
a = 2, b = −1, f (1) = 2 = 2 , 1 2 , 1 ( ) x x x f x 判别: 是否为连续函数 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (x) = ax + b , x 1 ( 1), x =1 2 1 a+ b + , x 1 2 x x 1时, f (x) = a, x 1时，f (x) = 2x
1 x2sin,x≠0 例5.设f(x)= ,讨论f(x)在x=0 0 x=0 处的连续性及可导性 解： lim f(x)=limx2sin-=0=f(0) x>0 x→0 所以f(x)在x=0处连续 x-sin I 又 lim (x)-f(O) lim x→0 x→0 =limxsin-=0→f'(0)=0 x→0 即f(x)在x=0处可导 等HIGH EDUCATION PRESS
设 解: 又 例5. 所以 在 处连续. 即 在 处可导 . 处的连续性及可导性. f (0) = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、导数和微分的求法 1.正确使用导数及微分公式和法则 2.熟练掌握求导方法和技巧 (1)求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等 (2)隐函数求导法 一对数微分法 (3)参数方程求导法 转化一 极坐标方程求导 (4)复合函数求导法（可利用微分形式不变性） (5)高阶导数的求法 逐次求导归纳； 间接求导法：利用莱布尼兹公式. 等HIGH EDUCATION PRESS 周89
二、 导数和微分的求法 1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等 (2) 隐函数求导法 对数微分法 (3) 参数方程求导法 极坐标方程求导 (4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) 转化 (5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳 ; 间接求导法; 利用莱布尼兹公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束