第五节 第七章 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 等HIGH EDUCATION PRESS
第五节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第七章
一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(x,y%,二。)且垂直于非零向 量n=(A,B,C),求该平面Π的方程 任取点M(x,y,)∈Ⅱ，则有 MoM Ln 0 故 MoM.n=0 MoM=(x-x0,y-y0,2-20) A(x-xo)+B(y-o)+C(z-0)=0 ① 称①式为平面卫的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量 等HIGH EDUCATION PRESS 黑999
z y x o M0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面Π的法向量为 n n=MM2×MM3 M M3 i方尼 =-34-6 M2 -23-1 =(14,9,-1) 又M,∈Π，利用点法式得平面Ⅱ的方程 14(x-2)+9y+1)-(2-4)=0 即 14x+9y-z-15=0 音HIGH EDUCATION PRESS 周f0008
i j k = 例1.求过三点 , 又M1 = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2 M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 -3 4 -6 =0 -2 3 -1 一般情况：过三点Mk(xk,yk,k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-x1 y-1 2-21 x2-X12-122-1 =0 3-x13-1 23-21 等HIGH EDUCATION PRESS
此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别，当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c) 时，平面方程为 x+y+三=1(a,b,c≠0) a b c 此式称为平面的截距式方程 分析利用三点式 x-a -a 三0 -a 0 按第一行展开得(x-a)bc-y(-a)c+zab=0 即 bcx acy +abz abc 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + =1 c z b y a x 时, (a,b,c 0) (x − a)bc− y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0)② 任取一组满足上述方程的数x0,%,20,则 Axo+Byo+Czo+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-Yo)+C(z-Z0)=0 显然方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为=(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 方程 等HIGH EDUCATION PRESS 周f00o8
二、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + By +Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 Ax0 + B y0 +C z0 + D = 0 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A + B +C ② n = (A,B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C20) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面； ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 n=(0,B,C)⊥，平面平行于x轴， ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面； ·Ax+By+D=0表示平行于轴的平面 ·C:+D=0表示平行于x0y面的平面； ·Ax+D=0表示平行于y0z面的平面； ·By+D=0表示平行于0x面的平面 等HIGH EDUCATION PRESS 周8008
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 Ax + By +Cz + D = 0 ( 0) 2 2 2 A + B +C 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. n = (0,B,C) ⊥ i, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面方程 解：因平面通过x轴，故A=D=0 设所求平面方程为 By+Cz=0 代入已知点(4，-3，-1)得C=-3B 化简，得所求平面方程 y-3z=0 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程， (P327例4，自己练习) 等HIGH EDUCATION PRESS 动目最上页下页返回结砖
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为 By +Cz = 0 代入已知点 (4, −3, −1) 得 化简,得所求平面方程 (P327 例4 , 自己练习) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、两平面的夹角 两平面法向量的夹角（常为锐角）称为两平面的夹角 设平面Π的法向量为元=(A,B,C) 平面的法向量为元2=(42，B2,C2) 则两平面夹角0的余弦为 cos0= nn n n2 即 AA B B2 C C2 cos0= +B2++B22+C2 音HIGH EDUCATION PRESS 周P000⑧
三、两平面的夹角 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 cos = 即 A1A2 + B1B2 +C1C2 2 2 2 2 2 A2 + B +C 2 1 2 1 2 A1 + B +C 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 1 2 n2 n1 ( , , ) n1 = A1 B1 C1 ( , , ) n2 = A2 B2 C2 1 2 1 2 cos n n n n = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Π1：n1=(A,B,C) Π2：n2=(A2,B2,C2) cos=1 斤·n2 n n2 特别有下列结论： n (1)卫1⊥Π2>1n2 >AA2+BB2+C1C2=0 2 (2)Π1/Π2>元1∥n2 4=B=C A B2 C2 等HIGH EDUCATION PRESS
2 特别有下列结论： 1 2 (1) ⊥ A1 A2 + B1 B2 +C1C2 = 0 1 2 (2) // 2 1 2 1 2 1 C C B B A A = = : ( , , ) : ( , , ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n A B C n A B C = = 1 1 2 1 2 1 2 cos n n n n = n1 ⊥ n2 1 2 n // n n2 n1 n2 n1 机动 目录 上页 下页 返回 结束