第十章 曲线积分与曲面积分 积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲面域 对弧长的曲线积分 曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 曲面积分 对坐标的曲面积分
第十章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分
第一节 第十章 对孤长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 等HIGH EDUCATION PRESS 目最上页下页返回结
第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1.引例：曲线形构件的质量 B 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB,其线密度为p(x,y,z), (5k,7k,5k) 为计算此构件的质量，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 M=lim P(5k,7k,5k)△sx 2→0 k=1 》HIGH EDUCATION PRESS 周R0008
A B 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 = n k 1 M = 为计算此构件的质量, k s Mk−1 Mk ( , , ) k k k 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.定义 设「是空间中一条有限长的光滑曲线，f(x,y,z)是定 义在「上的一个有界函数，若通过对「的任意分割和对 局部的任意取点，下列“乘积和式极限” (5k,7k,5k 记作 1im∑f(5,k,5k)△sk手fx,y,z)ds 入→0 k=1 都存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲线 「上对弧长的曲线积分，或第一类曲线积分 Mk-1 f(x,y,z)称为被积函数，厂称为积分弧段 曲线形构件的质量M=∫p(x,y,)ds 等HIGH EDUCATION PRESS
设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, k k k k f ( , , )s 都存在, 上对弧长的曲线积分, = 记作 f (x, y,z)ds 若通过对 的任意分割 局部的任意取点, 2.定义 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 M = (x, y,z)ds = n k 1 0 lim → k s Mk−1 Mk ( , , ) k k k 和对 机动 目录 上页 下页 返回 结束
如果L是xoy面上的曲线弧，则定义对弧长的曲线积 分为 f(x,y)ds lim f(5k,7k)△Sx 2-→0 k= 如果L是闭曲线，则记为，f(x,y)s 思考： ()若在L上fx,归1，问jds表示什么？ (2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例？ 否对弧长的曲线积分要求ds≥0，但定积分中 dr可能为负 等HIGH EDUCATION PRESS 上页下页返回结砖
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , k k n k k = f s = → lim ( , ) 1 0 L f (x, y)ds 如果 L 是闭曲线 , 则记为 ( , )d . L f x y s 则定义对弧长的曲线积 分为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d 表示什么? L s (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负
3.性质 (1)[f()g(x.=)]ds =∫fx,y,)ds±r8(x,y)ds (2)Jkfx,y2)d西=k∫f(x,y,2)ds (k为常数) (3))ds=ds)ds (T由，「2组成) 4 ds=1 (1为曲线弧T的长度) 等HIGH EDUCATION PRESS 周e00o8
3. 性质 (1) f (x, y,z) ds （k 为常数) (3) f (x, y,z)ds ( 由 组成) ( l 为曲线弧 的长度) g(x, y,z) = f (x, y,z)ds g(x, y,z)ds = + 1 2 f (x, y,z)ds f (x, y,z)ds 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路：求曲线积分 转化 一计算定积分 定理：设f(x,y)是定义在光滑曲线弧 L:x=p(t),y=W(t)(a≤t≤B) 上的连续函数，则曲线积分∫，f(x,)d存在，且 LSds-Sft.vdr 证：根据定义 J/x,)）ds=lim】 (5k,7k)△s k=1 等HIGH EDUCATION PRESS 黑98
= + f x y ds f t t t t t L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 k k n k k = f s = → lim ( , ) 1 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设各分点对应参数为tk(k=0,1,…,n), 点(k,k对应参数为tk∈[k-1,tk], =%020+20d =Vo2()+w2(tk)△k,tk∈[k-1,k] 则f(x,y)ds lim >fo(zk).w(zk)lyo2(k)+w2(rk)Ak 入→0 k=1 注意Vp2(t)+w2(t)连续 lim 九→0 f[p(tk)v(tk)12(k)+V-(k)Nk k=1 等HIGH EDUCATION PRESS 090008 机动目录上页下页返回结
点 ( , ) k k s t t t k k t t k ( ) ( ) d 1 2 2 − = + ( ) ( ) , 2 2 k k k = + t = → = n k 1 0 lim [ ( ), ( )] k k f 注意 2 (t) + 2 (t)连续 设各分点对应参数为 对应参数为 则 = → = n k 1 0 lim [ ( ), ( )] k k f 机动 目录 上页 下页 返回 结束
因此 )ds =j几ee.yejp2+wPua 说明： (I),△sk>0,.△k>0,因此积分限必须满足a<B1 (2)注意到 ds =v(dx)2+(dy)2 =√p2(t)+w2(t)d1 dx 因此上述计算公式相当于”换元法” 等HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧
dx dy ds x y o 说明: (1) 0, 0, k k s t 因此积分限必须满足 ! (2) 注意到 2 2 ds = (d x) + (d y) (t) (t) d t 2 2 = + 因此上述计算公式相当于“换元法”. x 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束
如果曲线L的方程为y=yw(x)(a≤x≤b),则有 Jfds=[(()+w(dx 如果方程为极坐标形式：L:=r(0)(α≤0≤阝)，则 ds -(rcs0im 推广：设空间曲线弧的参数方程为 T:x=t),y=yt),2=o(t)(C≤t≤阝) ∫nf(x,ya)ds 则 f(p(),y),o()o2(0)+w2()+o2()d1 等HIGH EDUCATION PRESS 黑98
如果曲线 L 的方程为 则有 如果方程为极坐标形式: L :r = r( ) ( ), 则 = f (r( )cos , r( )sin ) 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x =(t), y =(t), z =(t) ( t ) 则 f (x, y,z)ds (t) (t) (t) d t 2 2 2 + + 1 (x) dx 2 + ( ) ( ) d 2 2 r + r = b a f (x,(x)) = f ((t) ,(t),(t) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束