第三节 第五章 定积分的换无法和 分部积分法 不定积分 换元积分法 换元积分法 定积分 分部积分法 分部积分法 定积分的换元法 二、 定积分的分部积分法 等HIGH EDUCATION PRESS be0008
二、定积分的分部积分法 第三节 不定积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章
一、 定积分的换元法 定理1.设函数f(x)∈C[a,b],单值函数x=p(t)满足 1)p(t)=C[a,B],p(a)=a,p(B)=b; 2)在[a,]上a≤p(t)≤b, 则 fede=2rlpupod 证：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在， 且它们的原函数也存在.设F(x)是f(x)的一个原函数， 则F[p(t)]是f[p(t)]p'(t)的原函数，因此有 f(dx-F(b-F(a)=(() dt HIGH EDUCATION PRESS
一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) ( ) [ , ], 1 t C 2) 在 [ , ] 上 () = a,() = b; (t) (t) 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有 = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] (t) (t) (t) (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则
C心xie='fIOIar 说明： 1)当B<a,即区间换为[B,]时，定理1仍成立 2)必需注意换元必换限，原函数中的变量不必代回. 3)换元公式也可反过来使用，即 ["())dt=["f(x)dx (x=()) 或配元 Ndt=["S1d 配元不换限 》HIGH EDUCATION PRESS 0C08 机动目录上页下页返回结束
说明: 1) 当 < , 即区间换为 [ ,]时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 f x x (令x =(t)) b a ( )d = 或配元 (t) d(t) 配元不换限 (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (t) (t) (t) (t)
例1.计算Va2-x2d(a>0 解：令x=asint,则dx=acostdt,且 当x=0时，t=0；x=a时，t= 原武-as2d7 yf y=v 2(1+cos2t)dt 2J0 2(+2n2) 2 πa 等HIGH EDUCATION PRESS
例1. 计算 解: 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2 x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2 = + sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2 2 0 cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且
r4x+2 例2.计算J02x+ dx 解：令1=2+1则=d,自 当x=0时，t=1;x=4时，t=3 赋 2-1+2 =e2+3d 等HIGH EDUCATION PRESS
例2. 计算 解: 令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当x = 0时, x = 4时, t = 3. ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2 + − (t 3)dt 2 1 3 1 2 = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t =1; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且
例3.设f(x)EC[-a,a, 偶倍奇零 0若/-)=f,则dr=2/x)ds 2)若f(-)=-f),则2f(x)dx=0 证：fx)dr=”nx)d+6fx)dx =of()dt+f(x)dx 令x=-i =∫f(-x)+fx)]d 26fd, f(-x)=f(x)时 0 f(-x)=-f(x)时 等HIGH EDUCATION PRESS 88998
例3. 证: (1) 若 − = a a a f x x f x x 0 则 ( )d 2 ( )d = − f x x a a ( )d (2) 若 ( )d = 0 − a a 则 f x x f x x a ( )d 0 − f x x a ( )d 0 + f t t a ( )d 0 = − f x x a ( )d 0 + f x f x x a [ ( ) ( )]d 0 = − + f (−x) = f (x)时 f (−x) = − f (x)时 偶倍奇零 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令x = −t =
二、定积分的分部积分法 定理2.设(x),(x)∈Cl[a,b],则 red=ero-aueod b 证：.[2(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) 两端在[a,b]上积分 )))dx b Gdr =u(x)r(x)v(dx 考HIGH EDUCATION PRESS
二、定积分的分部积分法 定理2. ( ), ( ) [ , ], 1 设u x v x C a b 则 a b 证: [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x) u(x)v(x) a b u x v x x u x v x x b a b a = ( ) ( )d + ( ) ( )d = u(x)v(x) a b − b a u (x) v(x)dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两端在[a,b]上积分
例4.计算 arcsinxdx 解：原式=x arcsinx *50-3d0-) 122 等HIGH EDUCATION PRESS
例4. 计算 解: 原式 = x arcsin x 0 2 1 − 2 1 0 x x x d 1 2 − 12 = (1 ) d (1 ) 2 1 2 0 2 2 1 2 1 + − x − x − 12 = 2 1 (1 ) 2 + − x 0 2 1 12 = 2 3 + −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.证明1n=月sin”xdr=cos”xdr "分子…星}受，n为偶数 n n-2 n-1.n-3. .4.2 53 n为奇数 n n-2 证：令1=号-x,则 insin"(d cos"d 令u=sin-1x,y'=sinx,则d=(n-1)sin"-2 xcoS.x,. V=-COSx =coin月+a-sn2x6os2xdk 等HIGH EDUCATION PRESS 0 9008 机动目上页下页返回结辣
= 2 0 cos d t t n = 2 0 cos d x x n 例5. 证明 证: 令 , 2 2 1 4 3 2 1 3 − n n − n n− n 为偶数 n 为奇数 , 2 t = − x 则 2 0 sin d x x n = − − 0 2 2 sin ( )d t t n 令 则 ( 1)sin cos , 2 u n x x n− = − v = −cos x [ cos sin ] 1 I x x n n − = − 0 2 − + − 2 0 2 2 ( 1) sin cos d n x x x n 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
=(n-Dsin"-2xcos2xdx =(n-1sin"-2x(1-sin2 x)dx =(n-1)1m-2-(n-1)Im sin"xds 由此得递推公式1n="分1n-2 于是 13m=2m1.2m-3 2m 2m-21 1=3子…号 2m2m-2 而 o=d=行，1=sin xds=l 故所证结论成立 等HIGH EDUCATION PRESS be0008
− = − 2 0 2 2 ( 1) sin cos d I n x x x n n = − − 2 − 0 2 2 ( 1) sin (1 sin )d n x x x n 2 ( 1) = − n− n I 由此得递推公式 2 1 − − = n n n n I I 于是 I2m = m m 2 2 −1 I2m+1 = 2 1 2 m+ m 而 I0 = 2 0 d x , 2 = = 2 0 1 sin d I x x =1 故所证结论成立 . 0 I 1 I 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 −2 I m 2 2 2 3 − − m m 2 −4 m I 2 1 4 3 2 −1 2 I m 1 2 2 − − m m 2 −3 m I 3 2 5 4