嘉兴学院 课件 全微分_高等数学第八章（3）

第三节 第八章 全微分 元函数y=fx)的微分 △y=A△x+O(△x) dy=f'(x)△x 应用 「近似计算 估计误差 本节内容： 一、 全微分的定义 *二、 全微分在数值计算中的应用 考HIGH EDUCATION PRESS 周f0008

第八章 *二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 y = Ax + o(x) dy = f (x)x 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容: 一、全微分的定义 全微分

一、全微分的定义 定义：如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y) 处全增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可表示成 △z=A△x+B△y+o(P),p=V(△x)2+(△y)2 其中A,B不依赖于△x,△y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，N7+B7)称为函数f(x,y) 在点(x,y)的全微分，记作 dz=df=A△x+B△y 若函数在域D内各点都可微，则称此函数在D内可微. 等HIGH EDUCATION PRESS

一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成  z = Ax + B y + o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz = d f = Ax + By 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微

由微分定义： lim△&=lim[(A△x+B△y)+o(p)]=0 △x-→0 p→0 △y-→0 得 limf(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x→0 △y-→0 即 函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 > 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： (1)函数可微，二偏导数存在 (2)偏导数连续，二 函数可微 等HIGH EDUCATION PRESS 090008 机动目录上页下页返回结束

(2) 偏导数连续 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) lim( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 由微分定义 : 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即

定理1（必要条件）若函数z=f(x,y)在点x,)可微， 则该函数在该点偏号数：，。-必存在且有 Ox Ov dz=- 二△x+ △y Ox ay 证：由全增量公式△z=A△x+B△y+o(pP),令△y=0, 得到对x的偏增量 △xz=f(x+△x,)-f(x,y)=A△x+o(△x) =1im△x2=A Oxx→0△x =B,因此有dz 0z 0z 同样可证 二△x+△y 0y 等HIGH EDUCATION PRESS

定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y y z x x z z     +   d = x z    同样可证 B, y z =   证: 由全增量公式 令y = 0, = Ax + o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x + x x 因此有 x zx x   =  →0 lim = A 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意：定理1的逆定理不成立.即 偏导数存在函数不一定可微1 x2+y2≠0 反例：函数f(xy) 0 x2+y2=0 易知fx(0,0)=f,(0,0)=0,但 △2-[fx(0,0)△x+f(0,0)A]= △xAy (△x)2+(△y2 △x△y △x△y V(△x2+(△)2p(△x)2+(△y2 9一0 ≠o(P)因此，函数在点(0,0)不可微 等HIGH EDUCATION PRESS 周8g8

反例: 函数 f (x, y) = 易知 (0, 0) = (0, 0) = 0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]  − x  + y   o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2 +  + x y x y xy 0, 0 2 2 x + y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2充分条件)若函数：=∫(x,y)的偏导数，三 Ox"Oy 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 证：△x=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y +[f(x,y+△y)-f(x,y)] =fx(x+O△x,y+△y)△x+f(x,y+02Ay)△y 0<0,02<1 =[fx(x,y)+a]Ax +[f(x,y)+B]Ay limc=0】 lim B=0 △x→0 △x→0 △y-→0 △y→0 等HIGH EDUCATION PRESS 090008 机动目录上页下页返回结束

=[ f (x + x, y + y) ] 定理2 (充分条件) y z x z     , 证： z = f (x + x, y + y) − f (x, y) (0 , 1) 1  2  f x y x = [ x ( , ) + ]       f x y y y = f x (x +1x, y + y)x + y ( , + 2 ) − f (x, y + y) +[ f (x, y + y ) − f (x, y)] f x y y +[ y ( , ) + ] 若函数 的偏导数 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分.   机动 目录 上页 下页 返回 结束 lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x

△z=… =fx(x,y)△x+f,(x,y)△y+aAx+阝△y lim a=0,lim B=0 △x-→0 △x-→0 △y-→0 △y→0 注意到 a△x+B△ sa+B,故有 0 Az=f(x,y)Ax+f(x,y)Ay+o(p) 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微， 》HIGH EDUCATION PRESS 周e0008

z = f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) z f x y x f x y y  = x ( , ) + y ( , )       + x + y 所以函数 + x +  y 在点 可微. 机动 目录 上页 下页 返回 结束       lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x 注意到 , 故有 + o( )

推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如，三元函数u=f(x,y,z)的全微分为 +Dw AyOA= du=△x+ Ox ayOz 习惯上把自变量的增量用微分表示，于是 du= Ou Ou "dx+-dv+oudz 记作dxu d,u d-u dxu,dyu,du称为偏微分故有下述叠加原理 du=d,u+d,u+d-u 等HIGH EDUCATION PRESS

 +   x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f (x, y,z) d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u = 记作 故有下述叠加原理 u u u u x y z d = d + d + d 称为偏微分. z z u d   + dz u 的全微分为  +   y y u z z u    于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u u u x y z d ,d ,d

例1.计算函数z=ey在点(2,1)处的全微分 z 解： xexy Ox ov 0z a/2,)e2, 0z dy2,1)-2e3 d =e2dx+2e2dy=e2(dx+2dy) (2,1) 例2.计算函数u=x+sim+e的全微分 解：du=1dx+(cos+zey)dy+yedz 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: =   x z 2 2 2 (2,1) , (2,1) e y z e x z =   =   例2. 计算函数 的全微分. 解: d u = y y ( cos )d 2 2 1 + =   y z , xy ye xy xe y z z e 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、全微分在数值计算中的应用 1.近似计算 由全微分定义 △2=fx(x,y)△x+f(x,y)Ay+o(P) dz 可知当△x及△y较小时，有近似等式 △2≈dz=f(x,y)△x+f,(x,y)△y (可用于近似计算，误差分析) f(x+△x,y+△y)≈f(x,y)+f(x,y)△x+f(x,y)Ay (可用于近似计算)〉 等HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧

可知当 *二、全微分在数值计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 z f (x, y) x f (x, y) y o()  = x  + y  + f (x + x, y + y) f x y x f x y y x ( , ) + y ( , ) 较小时, z z f x y x f x y y   d = x ( , ) + y ( , ) d z 及 有近似等式:  f (x, y) + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算)