第八章 第二节 偏导数 一、偏导数概念及其计算 二、高阶偏导数 等HIGH EDUCATION PRESS 周e0008
第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 第八章
一、偏导数定义及其计算法 引例：研究弦在点x,处的振动速度与加速度，就是 将振幅4(x,)中的x固定于x处，求u(x0,)关于1的 一阶导数与二阶导数， (x0,1 u(x,t） 等HIGH EDUCATION PRESS
一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 u(x, t) 0 o x x u 中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, ( , ) 0 u x t 关于 t 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅
定义1.设函数z=f(x,y)在点(x0,yo)的某邻域内 极限 lim f(xo +Ax,yo)-f(xo>Yo) △x→0 △x 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(xo,yo)对x 的偏导数，记为 0z of Ox (xo,Yo)' 0x(x0,J%) 2x(00)9 fx(xo,Yo);oYo) 注意：f(xo,yo)=1im f(xo +Ax,Yo)-f(xo,o) △x→0 △x d dx f(x,yo)x=xo 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定义1. z = f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点(x , y ) 对x = 0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f x + x 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 ) = ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x x 0 lim x→ x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y = = ( , ). 1 0 0 f x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x f x x y f x y x + − = → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 注意 x :
同样可定义对y的偏导数 f(xo,Yo)=lim f(x0,Jyo+△y-f(x0,%） △y-→0 △y f(xo,y)y=yo dv 若函数：=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为 偏导数，记为 oz∂f ax’ox zx,,y),f(x,y) Oz of ay’ay ,y,(x,y),f(x,y) 等HIGH EDUCATION PRESS 周e00o⑧
同样可定义对 y 的偏导数 lim →0 = y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ( , ) , ( , ) 2 f x y f x y y ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y 记为 y + y 0 0 y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如，三元函数u=f(x,y,)在点(x,y,2)处对x的 偏导数定义为 f(x,y,z)lim f(x+△x,y,z)-(x,y,z) △x→0 △x f(xy,)=? (请自己写出) f(x,y,z)=? 等HIGH EDUCATION PRESS
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x + x f (x, y,z) = ? y f (x, y,z) = ? z x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为 (请自己写出)
二元函数偏导数的几何意义： of d x=x0= xy=y。 fx,y0入x=x0 dx 是曲线 :=f(x,y在点M,处的切线 y=Yo MoT,对x轴的斜率 of d x=X0三 (x0,y) y=Yo y=yo 是曲线 z=f(x,y) 在点M,处的切线M,T,对y轴的 x=X0 斜率 等HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束
二元函数偏导数的几何意义: 0 0 ( , ) d d 0 0 x x f x y x x f x x y y = = = = = = 0 ( , ) y y z f x y M0Tx 0 0 ( , ) d d 0 0 y y f x y y y f x x y y = = = = 是曲线 M0Ty 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 y x z 0 x Ty o Tx 0 y M0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的
注意：函数在某点各偏导数都存在， 但在该点不一定连续， x2+y2≠0 例如， 2=f(x,y)= +v ，x2+y2=0 d 显然 fx(0,0)=f(x,0) dx x=0=0 f(0,0)= /0y d y=0=0 在上节已证f(x,y)在点0,0)并不连续！ 考HIGH EDUCATION PRESS 0e0008
函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, + = + = = + 0 , 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy z f x y = 0 = 0 注意： 但在该点不一定连续. 上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
例1.求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数. 解法1： =2x+3y, 0 -=3x+2y 12)21+32=8,60231+2-2=7 0z 0z 解法2：2-2=x2+6x+4 0z 0x1,2)-(2r+6 2x=1=1+3y+y2 6 l(12)=6+20)-2=7 等HIGH EDUCATION PRESS
例1 . 求 2 2 z = x + 3xy + y 解法1: = x z x (1,2) z 解法2: x (1, 2) z 在点(1 , 2) 处的偏导数. y (1, 2) z 2x + 3y , = y z 3x + 2y y (1,2) z 6 4 2 = x + x + x=1 z 2 =1+ 3y + y y=2 z 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.设z=x'(x>0,且x≠D,求证 x0z,1 Oz 3 =22 yOx Inxoy of =y 证0 8 ， 兰=x'lnx a x0z 1 0z =x+x=2z yOx InxOy 例3. 求r=Vx2+y2+z2 22 的偏导数.P14例4) 解： Or 2x X 2x2+y2+2 Or v Oy r 0z 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结辣
例2. 设 z = x y ( x 0, 且 x 1）， z y z x x z y x 2 ln 1 = + 证: y z x x z y x + ln 1 例3. 求 的偏导数 . (P14 例4) 解: = x r 求证 = 2z 2 2 2 2 x + y + z 2x r x = r z z r = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常数)， 求证： op av aT =-1 av ar op RT op__ RT 证：p= av v2 说明：此例表明 V= RT av R 偏导数记号是一个 OT P 整体记号，不能看作 T= Or V 分子与分母的商！ op R ap av ar RT ay at ap DD 考HIGH EDUCATION PRESS 周R000⑧
偏导数记号是一个 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: = −1 p T T V V p 证: , V RT p = , p RT V = = p T T V V p 说明: (R 为常数) , = V p 2 V RT − = T V p R pV RT − = −1 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号