第四章 不定积分 微分法：F'(x)=(?) 互逆运算 积分法：(？)Y=f(x)
第四章 微分法: F(x) = ( ? ) 积分法: ( ? ) = f (x) 互逆运算 不定积分
第一为 第四章 不定积分的桡念与性质 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 等HIGH EDUCATION PRESS
二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 第四章
一、原函数与不定积分的概念 引例：一个质量为m的质点，在变力F=Asint的作 下沿直线运动，试求质点的运动速度v(t) 根据牛顿第二定律，加速度a0=F-4sin, mm 因此问题转化为：已知yu)=sint,求=？ m 定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x) 满足F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)为f(x) 在区间1上的一个原函数 A A 如引例中，2sint的原函数有-二cost,-二cost+3,… m m 12 等HIGH EDUCATION PRESS 90C08 机动目录上页下页返回结束
一、 原函数与不定积分的概念 引例: 一个质量为 m 的质点, 下沿直线运动 , 因此问题转化为: 已知 ( ) sin t , m A v t = 求 v(t) = ? 在变力 试求质点的运动速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律, 加速度 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, t m A sin 的原函数有 cos t, m A − − cost + 3, m A
问题： 1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？ 2.若原函数存在，它如何表示？ 定理1.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在1上 存在原函数 (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 等HIGH EDUCATION PRESS
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有 原函数都在函数族F(x)+C(C为任意常数)内 证：1)(F(x)+C)y=F'(x)=f(x) .F(x)+C是f(x)的原函数 2)设Φ(x)是f(x)的任一原函数，即 Φ'(x)=f(x) 又知 F'(x)=f(x) .[Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 Φ(x)=F(x)+C,(C0为某个常数) 即Φ(x)=F(x)+C,属于函数族F(x)+C 等HIGH EDUCATION PRESS 周￡80o8
定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 [(x) − F(x)] = (x) − F(x) = f (x) − f (x) = 0 故 0 (x) = F(x) +C ( ) C0为某个常数 即 0 (x) = F(x) +C 属于函数族 F(x) +C . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即
定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在1 上的不定积分，记作f(x)dx,其中 ∫-积分号： f(x) 一被积函数； P183) X一 积分变量； f(x)dx 一被积表达式 若F'(x)=f(x),则 「f(x)dx=F(x)+C(C为任意常数) 例如 「exdx=ex+C C称为积分常数 ∫x2d=}x2+C 不可丢！ sinxdx =-cosx+C 考HIGH EDUCATION PRESS 000-8 动目录上页下页返回结束
定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. (P183) 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, = e x x d e C x + = x dx 2 x +C 3 3 1 = sin xdx − cos x +C 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
不定积分的几何意义： f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 ∫f)dx的图形 一f(x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族， 等HIGH EDUCATION PRESS
不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 f (x)dx 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y o x0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线
例1.设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解 .y’=2x ∴y=2xd=x2+C 所求曲线过点(1,2)，故有 2=12+C .C=1 因此所求曲线为y=x2+1 等HIGH EDUCATION PRESS
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 1 2 y = x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x (1, 2)
例2.质点在距地面xo处以初速y垂直上抛，不计阻 力，求它的运动规律 解：取质点运动轨迹为坐标轴，原点在地面，指向朝上 质点抛出时刻为t=0,此时质点位置为xo,初速为vo: 设时刻1质点所在位置为x=x(t),则 dx =v(t) (运动速度) dt x=x(t) 再由此求 x(t) d2x dv (加速度〉》 x0=x(0) d t2 =-g dt 先由此求v(t) M 等HIGH EDUCATION PRESS 9008 机动目录上页下页返回结束
o x 例2. 质点在距地面 处以初速 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , (0) 0 x = x x = x(t) 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则 ( ) d d v t t x = (运动速度) t v t x d d d d 2 2 = = −g (加速度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 v(t) 再由此求 x(t)
先求v().由 dv d7=g,知 v(t)=|(-g)dt=-gt+C x=x(t） 由(0)=0，得C1=0,故 x0=x(0) v(t)=-gt+vo 再求0.由dx=-g1+o,知 m dt x)=J(gt+od1=-92+o1+C2 由x(0)=0,得C2=x,于是所求运动规律为 x(t)=-gt2+o1+x0 》HIGH EDUCATION PRESS be0008
先求 由 知 v(t) = ( − g)dt C1 = −gt + (0) , 0 由v = v , 1 0 得C = v 0 v(t) = −gt + v 再求 x(t) ( t v )dt = − + 0 g 0 2 2 2 1 = − gt + v t +C (0) , 0 由x = x , 2 0 得C = x 于是所求运动规律为 0 0 2 2 1 x(t) = − gt + v t + x 由 知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 o x (0) 0 x = x x = x(t)