习题课（二） 第十二章 二阶微分方程的 解法及立用 一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用 等HIGH EDUCATION PRESS
二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (二) 二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法 第十二章
一、两类二阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法一降阶法 ● dr2 =f(x)一 逐次积分求解 d2y d 令p(x)=d少 dr2 =f(x, dx dx d卫=fx,p) dx dy d'y d 令p(y)= =f(y, dx→p d dp =f(y.p) 等HIGH EDUCATION PRESS 动目最上页下页返回结束
一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法 ( ) d d 2 2 f x x y • = ) d d ( , d d 2 2 x y f x x y • = 令 x y p x d d ( ) = ( , ) d d f x p x p = ) d d ( , d d 2 2 x y f y x y • = 令 x y p y d d ( ) = 逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.二阶线性微分方程的解法 齐次 ·常系数情形 代数法 非齐次 ·欧拉方程 x2y"+pxy'+qy f(x) 令x=e',D=d [D(D-1)+pD+q]y =f(e') 练习题：P327题2； 3(6),(7)； 4(2)；8 》HIGH EDUCATION PRESS 周f000⑧
2. 二阶线性微分方程的解法 • 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 • 欧拉方程 x y 2 + pxy + qy = f (x) t x e D t d d 令 = , = D(D −1) + pD + q y ( ) t = f e 练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解答提示 P327题2求以y=C1e'+C2e2x为通解的微分方程 提示：由通解式可知特征方程的根为1=1,2=2， 故特征方程为(？-1)(r-2)=0,即r2-3r+2=0 因此微分方程为y”-3y+2y=0 P327题3求下列微分方程的通解 (6yy"-y2-1=0,(7)y”+2y+5y=sim2x 提示：(6)令y=p(y),则方程变为 2-p2-1=0,即pdp dy YP- 1+p 等HIGH EDUCATION PRESS
解答提示 P327 题2 求以 为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 P327 题3 求下列微分方程的通解 (6) 1 0, 2 yy − y − = (7) y + 2y + 5y = sin 2x . 提示: (6) 令 则方程变为 1 0 , d d 2 − p − = y p y p 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(7)y"+2y'+5y=sin2x 特征根：1,2=-1±2i, 齐次方程通解：Y=ex(C1cos2x+C2sin2x) 令非齐次方程特解为y*=Acos2x+Bsin2x 代入方程可得A=X7,B= 原方程通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x) 1 4 +cos 2x-17sin 2x 思考 若(7)中非齐次项改为sim2x,特解设法有何变化？ 提示：sin2x= 1-cos2x 2 ,y*Acos 2x+Bsin2x+D 等HIGH EDUCATION PRESS 090008 机动目录上页下页返回结束
特征根: (7) y + 2y + 5y = sin 2x 齐次方程通解: ( cos 2 sin 2 ) 1 2 Y e C x C x x = + − 令非齐次方程特解为 代入方程可得 17 4 17 1 , A = B = − 思 考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 故 y* = Acos 2x + Bsin 2x + D 原方程通解为 ( cos 2 sin 2 ) 1 2 y e C x C x x = + − 特解设法有何变化 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束
y-ay'2=0 P327题4(2)求解 y0=02yx=0=-1 提示：令y'=p(x),则方程变为 dp =ap1 dx 积分得 -士=ax+C1,利用px=0=yx=0=-1得C=1 dy- 再解 ,并利用x0=0,定常数C2 dx 1+ax y-y3=0 思考 若问题改为求解 y川x=0=0,yx=0=1 则求解过程中得p2= 1-9 问开方时正负号如何确定？ 等HIGH EDUCATION PRESS 0e000w
P327 题4(2) 求解 0 2 y − ay = 0 , y x=0 = y x=0 = −1 提示: 令 则方程变为 积分得 , 1 C1 ax p − = + 利用 1 p x=0=y x=0 = − 得 C1 =1 再解 , 1 1 d d x ax y + − = 并利用 0 , y x=0 = 定常数 . C2 思考 若问题改为求解 0 , y x=0 = 则求解过程中得 问开方时正负号如何确定? 机动 目录 上页 下页 返回 结束
P327题8设函数u=f),r=√x2+y2+z 2在r>0 内满足拉普拉斯方程 x2+y2+2 =0,其中f(r) 二阶可导，且f)=f')=1,试将方程化为以r为自变 量的常微分方程，并求f(r 提示： ou=f"(r) 62u ="+f)( 利用对称性，原方程可化为f"(+二f"()=0 即 r2f"(r)+2rf"(r)=0(欧拉方程) 等HIGH EDUCATION PRESS 周金009⑧
P327 题8 设函数 在 r > 0 内满足拉普拉斯方程 0, 2 2 2 2 2 2 = + + z u y u x u 二阶可导, 且 试将方程化为以 r 为自变 量的常微分方程 , 并求 f (r) . 提示: r x f r x u = ( ) = + 2 2 2 2 ( ) r x f r x u f (r) ( ) r 1 3 2 r x − 利用对称性, 即 ( 欧拉方程 ) 原方程可化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
r2f"(r)+2rf'(r)=0 解初值问题 f(①)=f'0)=1 d 令1=n,记D=则原方程化为 [DD-1)+2D]f=0即D2+D]f=0 通解f)=G+C2e=C+C2, 利用初始条件得特解： f(r)=2- 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目最上页下页返回结
解初值问题: 则原方程化为 通解: 利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求微分方程 y+y=x,x≤ 满足条件 y+4y=0,x>号 yx-0=0,yx=0=0,在x=马处连续旦可微的解 提示：当x≤罗时，解满足 y”+y=x yx=0=0,yx=0=0 特征根：12=±， 设特解：y*=Ax+B,代入方程定A,B,得y*=x 故通解为y=C1cosx+C2sinx+x 利用yx=0=0,yx=0=0,得 y=-sinx+x(x≤) 考HIGH EDUCATION PRESS 周000⑧
y = C cos x +C sin x + x 1 2 特征根 : , 1,2 r = i 例1. 求微分方程 2 , y + y = x x 提示: 故通解为 2 4 0 , y + y = x 满足条件 解满足 y + y = x 0 , y x=0 = y x=0 = 0 处连续且可微的解. 设特解 : y = Ax + B, 代入方程定 A, B, 得 0, 0, 利用y x=0 = y x=0 = 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
由x=处的衔接条件可知，当x>时，解满足 y”+4y=0 川x=-1+号，yx=1 其通解：y=C1sin2x+C2cos2x 定解问题的解：y=-sin2x+(1-)cos2x,x≥号 故所求解为 -sinx+x, x<5 -2sin2x+(1-)cos2x,x≥号 等HIGH EDUCATION PRESS
处的衔接条件可知, y + 4y = 0 解满足 故所求解为 y = 2 2 2 1 sin 2 (1 )cos 2 , − x + − x x y C sin 2x C cos 2x 其通解 = 1 + 2 : 定解问题的解: 2 2 2 1 sin 2 (1 )cos 2 , y = − x + − x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束